Mathematics Preparatory Course: Lecture Notes and Worked Solutions

Mathematikvorkurs WS 2026/27: ausführliche Lernzusammenfassung

Grundlage: die 15 Vorlesungsdateien von A. Ihrig, TU Darmstadt, aus dem Archiv „Vorkurs Mathe.zip“, einschließlich des Zusatzblatts „Folgen“ vom 22.09.2026.

Aufbau: Jede Vorlesung enthält zuerst den Lernstoff, danach die Aufgaben aus den Folien und anschließend die Lösungen mit Begründungen. Quizfragen, Hausübungen und ausdrücklich als Übung bezeichnete Beweise sind eingeschlossen. Wiederholte Aufgaben erscheinen auch in der jeweiligen späteren Vorlesung. Erklärungen und ausgearbeitete Lösungen sind für diesen Konspekt ergänzt; sie sind keine wörtliche Mitschrift einer mündlichen Vorlesung.

Sprachen: Fachbegriffe erhalten beim Einführen eine Übersetzung in der Form Deutsch (RU: русский; EN: English). Wiederkehrende Begriffe werden innerhalb einer Vorlesung nicht in jedem Satz erneut übersetzt. Ein Glossar steht am Ende.

Quellenangaben: „PDF-S. …“ zählt die tatsächlichen Seiten der jeweiligen Datei ab 1. Die aufgedruckten Foliennummern können davon abweichen. Grafische Aufgaben werden hier in Worten wiedergegeben. Aufgabenstellungen sind inhaltlich übernommen und sprachlich vereinheitlicht; Lösungen, die auf derselben Folie stehen, sind in den Lösungsabschnitt verschoben. Reine Verweise auf externe Moodle-Module enthalten im Archiv keine Aufgabenstellungen und werden deshalb nicht als vorhandene Aufgaben ausgegeben.

Notation: Es gilt wie in den Folien $\mathbb N={1,2,3,\ldots}$ und $\mathbb N_0={0,1,2,\ldots}$. Formeln verwenden Markdown mit LaTeX: $…$ für kurze Formeln und $$…$$ für abgesetzte Formeln. Zum Anzeigen eignet sich ein Markdown-Programm mit mathematischer Darstellung.

Inhaltsverzeichnis

Vorlesung 1: Mengenlehre und Aussagenlogik
Vorlesung 2: Logik, Summen, Produkte und Kombinatorik
Vorlesung 3: Beweise und vollständige Induktion
Vorlesung 4: Funktionen, Bild, Urbild und Bijektivität
Vorlesung 5: Verkettung, Umkehrfunktion und Rechenoperationen
Vorlesung 6: Funktionseigenschaften und Zahlenfolgen
Vorlesung 7: Beschränktheit, Konvergenz und Grenzwertsätze
Vorlesung 8: Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit
Vorlesung 9: Stetigkeitssätze und Differentialrechnung
Vorlesung 10: Ableitungen, Tangenten und Mittelwertsatz
Vorlesung 11: Extrema, Wendepunkte und Stammfunktionen
Vorlesung 12: Bestimmte Integrale und Integrationstechniken
Vorlesung 13: Vektorräume, Vektoren und Normen
Vorlesung 14: Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Matrizen
Vorlesung 15: Komplexe Zahlen

Zusätzlich: Korrekturen und Grenzen der Quelle, Glossar.

Vorlesung 1 - Mengenlehre und Aussagenlogik

Datum: 14.09.2026. Quelle: 2026-MVK_VL1-handout.pdf, 45 PDF-Seiten.

1.1 Mathematische Sprache

Eine Definition (RU: определение; EN: definition) legt die Bedeutung eines Begriffs fest. Ein Satz (RU: теорема; EN: theorem) behauptet unter bestimmten Voraussetzungen (RU: предпосылки, условия; EN: assumptions) eine mathematische Eigenschaft. Ein Beweis (RU: доказательство; EN: proof) begründet, weshalb die Behauptung aus den Voraussetzungen folgt. Eine Folgerung (RU: следствие; EN: corollary) entsteht durch Anwendung eines bereits bewiesenen Satzes. Beispiele veranschaulichen einen Begriff; ein Gegenbeispiel (RU: контрпример; EN: counterexample) kann eine allgemeine Behauptung widerlegen.

= und := haben unterschiedliche Funktionen: $2+5=7$ ist eine Gleichheitsaussage; $a:=2$ führt die Bezeichnung $a$ ein. Eine Gleichheitsaussage kann auch falsch sein, etwa $1+1=3$.

1.2 Mengen und Zahlenmengen

Eine Menge (RU: множество; EN: set) fasst unterscheidbare Objekte zusammen. Diese heißen Elemente (RU: элементы; EN: elements). Die Schreibweise $x\in A$ bedeutet „$x$ ist Element von $A$“, $x\notin A$ das Gegenteil. Die leere Menge (RU: пустое множество; EN: empty set) $\varnothing$ besitzt kein Element.

Eine Menge lässt sich aufzählen oder durch eine Eigenschaft beschreiben:

$$A={3,4,5,6}={x\in\mathbb N\mid3\le x\le6}.$$

Reihenfolge und Wiederholungen spielen keine Rolle: ${1,4,5,1}={1,4,5}$. Eine Grundmenge (RU: универсальное множество; EN: universal set) $G$ legt fest, aus welchem Bereich die Elemente stammen.

Menge	Bedeutung
$\mathbb N$	natürliche Zahlen (RU: натуральные числа; EN: natural numbers), ohne 0
$\mathbb Z$	ganze Zahlen (RU: целые числа; EN: integers)
$\mathbb Q={p/q:p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N}$	rationale Zahlen (RU: рациональные числа; EN: rational numbers)
$\mathbb R$	reelle Zahlen (RU: действительные числа; EN: real numbers)
$\mathbb R_{>0}$ bzw. $\mathbb R_{<0}$	positive bzw. negative reelle Zahlen

Es gilt $\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R$.

Ein Intervall (RU: промежуток; EN: interval) enthält alle reellen Zahlen zwischen seinen Grenzen. Eckige Klammern schließen eine Grenze ein; runde Klammern schließen sie aus:

$$[a,b]={x:a\le x\le b},\qquad(a,b)={x:a<x<b}.$$

$[a,b)$ und $(a,b]$ sind halboffen (RU: полуоткрытый; EN: half-open). Bei $\pm\infty$ steht immer eine runde Klammer, da Unendlich kein reelles Element ist.

1.3 Beziehungen und Operationen

$A\subseteq B$ bedeutet: Jedes Element aus $A$ liegt auch in $B$. Dies heißt Teilmenge (RU: подмножество; EN: subset). Insbesondere sind $\varnothing$ und $A$ Teilmengen von $A$.

$$A=B\quad\Longleftrightarrow\quad A\subseteq B\text{ und }B\subseteq A.$$

Das Komplement (RU: дополнение; EN: complement) ist $A^c=G\setminus A$. Es hängt von $G$ ab. Die Mächtigkeit (RU: мощность, число элементов; EN: cardinality) einer endlichen Menge ist $|A|$. Die Potenzmenge (RU: множество всех подмножеств; EN: power set) $\mathcal P(A)$ enthält alle Teilmengen von $A$. Für $|A|=n$ gilt $|\mathcal P(A)|=2^n$: Jedes Element kann unabhängig aufgenommen oder weggelassen werden.

Operation	Definition	Bedeutung
Vereinigung (RU: объединение; EN: union)	$A\cup B={x:x\in A\text{ oder }x\in B}$	in mindestens einer Menge
Durchschnitt (RU: пересечение; EN: intersection)	$A\cap B={x:x\in A\text{ und }x\in B}$	in beiden Mengen
Differenzmenge (RU: разность множеств; EN: set difference)	$A\setminus B={x:x\in A,x\notin B}$	nur in $A$
kartesisches Produkt (RU: декартово произведение; EN: Cartesian product)	$A\times B={(a,b):a\in A,b\in B}$	geordnete Paare

Vereinigung und Durchschnitt sind kommutativ (RU: коммутативный; EN: commutative). Die Differenz ist es im Allgemeinen nicht. Beim kartesischen Produkt ist die Reihenfolge der Komponenten wichtig. $\mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R$ beschreibt die Ebene.

1.4 Aussagen und Quantoren

Eine Aussage (RU: высказывание; EN: proposition) besitzt einen Wahrheitswert (RU: значение истинности; EN: truth value): wahr oder falsch. Ein Befehl ist keine Aussage. Eine Aussageform (RU: предикат, форма высказывания; EN: propositional function) enthält Variablen und wird durch Einsetzen zu einer Aussage, etwa $2x=6$. Ein bloßer Term wie $x^2+3x-4$ ist keine Aussageform.

Die Negation (RU: отрицание; EN: negation) $\neg A$ kehrt den Wahrheitswert um. Die Quantoren (RU: кванторы; EN: quantifiers) lauten:

$\forall$: für alle; Allquantor (RU: квантор всеобщности; EN: universal quantifier).
$\exists$: es gibt mindestens ein; Existenzquantor (RU: квантор существования; EN: existential quantifier).
$\exists!$: es gibt genau ein; $\nexists$: es gibt kein.

Beim Negieren wechseln Quantor und Eigenschaft:

$$\neg(\forall x\in M:E(x))\iff\exists x\in M:\neg E(x),$$ $$\neg(\exists x\in M:E(x))\iff\forall x\in M:\neg E(x).$$

„Nicht alle“ bedeutet also „mindestens einer nicht“, nicht „keiner“.

1.5 Verknüpfungen und Wahrheitstafel

Die Konjunktion (RU: конъюнкция; EN: conjunction) $A\land B$ bedeutet „und“, die Disjunktion (RU: дизъюнкция; EN: disjunction) $A\lor B$ bedeutet das einschließende „oder“. Die Implikation (RU: импликация; EN: implication) $A\Rightarrow B$ ist nur falsch, wenn $A$ wahr und $B$ falsch ist. Die Äquivalenz (RU: эквивалентность; EN: equivalence) $A\Leftrightarrow B$ verlangt beide Richtungen.

$A$	$B$	$A\land B$	$A\lor B$	$A\Rightarrow B$	$B\Rightarrow A$	$A\Leftrightarrow B$
w	w	w	w	w	w	w
w	f	f	w	f	w	f
f	w	f	w	w	f	f
f	f	f	f	w	w	w

Ein Widerspruch (RU: противоречие; EN: contradiction) ist immer falsch, z. B. $A\land\neg A$. Eine Tautologie (RU: тавтология; EN: tautology) ist immer wahr, z. B. $A\lor\neg A$.

1.6 Aufgaben aus den Folien

1-A1 - Mengengleichheit, PDF-S. 17. Sei $M={x\in\mathbb N:x\text{ gerade},x<10}$. Welche Mengen sind gleich $M$?

a) $A={x\in\mathbb Z:2\mid x,0<x<10}$; b) $B={2n:n\in\mathbb N,n<5}$; c) $C={2,4,6,8}$; d) keine der drei.

1-A2 - Komplement, PDF-S. 19. Sei $A={x\in\mathbb N:x\ge5}$. Bestimmen Sie sein Komplement bezüglich $\mathbb Z$.

1-A3 - Potenzmenge, PDF-S. 20. Bestimmen Sie $|\mathcal P({1,2,3})|$.

1-A4 - Mengenoperationen, PDF-S. 24. Für $A=(-3,2)$ und $B=[0,4)$ bestimmen Sie $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$, $B\setminus A$.

1-A5 - Aussage oder Aussageform, PDF-S. 32. Ordnen Sie zu: wahre Aussage, falsche Aussage, Aussageform oder keines davon.

a) „Bring mir ein Bier mit!“; b) „Alle Tiere haben ein Fell.“; c) „$x^2-4=0$, $x\in\mathbb R$“; d) „Darmstadt liegt in Hessen.“; e) „$7+4x$, $x\in\mathbb R$“.

1-A6 - Negation, PDF-S. 38. Negieren Sie: a) Alle Tiere können schwimmen. b) $\forall x\in\mathbb N:x/2\in\mathbb N$. c) $\exists x\in\mathbb Z:x^2=0$.

1-A7 - Logische Begriffe, PDF-S. 43. Sei $A$: „Es regnet“, $B$: „Ich benutze einen Regenschirm“. Bestimmen Sie die Verknüpfungen:

a) Wenn es regnet, dann benutze ich einen Regenschirm. b) Es regnet und ich benutze einen Regenschirm. c) Genau dann, wenn es regnet, benutze ich einen Regenschirm. d) Es regnet oder ich benutze einen Regenschirm. e) Wenn ich einen Regenschirm benutze, dann regnet es.

1.7 Lösungen

1-L1. $M={2,4,6,8}$. Alle drei Mengen $A,B,C$ stimmen damit überein. Bei $B$ sind die möglichen Indizes $1,2,3,4$; 0 gehört nach der Kurskonvention nicht zu $\mathbb N$.

1-L2. $\mathbb Z\setminus A={\ldots,-2,-1,0,1,2,3,4}={z\in\mathbb Z:z\le4}$. Negative Zahlen und 0 gehören dazu, weil die Grundmenge hier $\mathbb Z$ ist.

1-L3. $2^3=8$. Die Teilmengen sind $\varnothing$, ${1}$, ${2}$, ${3}$, ${1,2}$, ${1,3}$, ${2,3}$, ${1,2,3}$.

1-L4. $A\cup B=(-3,4)$; $A\cap B=[0,2)$; $A\setminus B=(-3,0)$; $B\setminus A=[2,4)$. 0 gehört zu $B$ und $A$, 2 nur zu $B$; -3 und 4 gehören zu keiner der beiden Mengen.

1-L5. a) Befehl, keines davon. b) Falsche Aussage; etwa Fische haben kein Fell. c) Aussageform, bei $x=\pm2$ wahr. d) Wahre Aussage. e) Term, keines davon.

1-L6. a) Es gibt mindestens ein Tier, das nicht schwimmen kann. b) $\exists x\in\mathbb N:x/2\notin\mathbb N$. c) $\forall x\in\mathbb Z:x^2\ne0$. Hier werden nur die Negationen gebildet; die ursprünglichen Aussagen müssen dafür nicht wahr sein.

1-L7. a) $A\Rightarrow B$; b) $A\land B$; c) $A\Leftrightarrow B$; d) $A\lor B$; e) $B\Rightarrow A$. Die beiden Implikationen sagen Unterschiedliches aus.

Vorlesung 2 - Logik, Summen, Produkte und Kombinatorik

Datum: 15.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL02-handout.pdf, 24 PDF-Seiten.

2.1 Wiederholung der Logik

Die Vorlesung wiederholt die Mengenoperationen und die Wahrheitstafeln aus Vorlesung 1. Entscheidend bleibt: „oder“ erlaubt, dass beide Aussagen wahr sind; $A\Rightarrow B$ bedeutet nicht automatisch $B\Rightarrow A$; eine Äquivalenz ist die Konjunktion beider Implikationen.

2.2 Summen- und Produktzeichen

Das Summenzeichen (RU: знак суммы; EN: summation symbol) fasst eine Addition zusammen:

$$\sum_{k=n}^{N}a_k=a_n+a_{n+1}+\cdots+a_N.$$

$k$ ist der Summenindex (RU: индекс суммирования; EN: summation index), $a_k$ ein Summand (RU: слагаемое; EN: summand). Die Grenzen werden eingeschlossen; für $n\le N$ gibt es $N-n+1$ Summanden. Beispiele: $\sum_{k=1}^{3}2k=12$ und $\sum_{j=-1}^{1}j=0$.

Das Produktzeichen (RU: знак произведения; EN: product symbol) funktioniert entsprechend:

$$\prod_{k=n}^{N}a_k=a_n a_{n+1}\cdots a_N.$$

Beispiele: $\prod_{k=1}^{3}k^2=36$ und $\prod_{j=-2}^{0}(2j+1)=(-3)(-1)1=3$. Für $n>N$ wird eine leere Summe (RU: пустая сумма; EN: empty sum) als 0 und ein leeres Produkt (RU: пустое произведение; EN: empty product) als 1 definiert. Dies sind die neutralen Elemente der jeweiligen Operation.

Konstante Faktoren lassen sich so herausziehen:

$$\sum_{k=n}^{N}\alpha a_k=\alpha\sum_{k=n}^{N}a_k,\qquad \prod_{k=n}^{N}(\alpha a_k)=\alpha^{N-n+1}\prod_{k=n}^{N}a_k\quad(n\le N).$$

Beim Produkt muss der Faktor für jeden einzelnen Faktor berücksichtigt werden.

2.3 Indexverschiebung

Eine Indexverschiebung (RU: сдвиг индекса; EN: index shift) ändert die Bezeichnungen, aber nicht die Summanden:

$$\sum_{k=n}^{N}a_k=\sum_{k=n+j}^{N+j}a_{k-j}.$$

Dieselbe Regel gilt für Produkte. Grenzen und Ausdruck müssen gemeinsam angepasst werden. Beispiel:

$$\sum_{k=1}^{3}k=\sum_{k=6}^{8}(k-5)=1+2+3.$$

Am sichersten prüft man den ersten und letzten Summanden.

2.4 Fakultät und Binomialkoeffizient

Die Fakultät (RU: факториал; EN: factorial) ist $n!=1\cdot2\cdots n$. Es gelten $0!=1$ und $n!=n(n-1)!$ für $n\ge1$.

Der Binomialkoeffizient (RU: биномиальный коэффициент; EN: binomial coefficient) lautet für $0\le k\le n$:

$$\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$

Für $k>n$ wird er als 0 definiert. Es gelten $\binom n0=\binom nn=1$ und $\binom nk=\binom n{n-k}$. Als erläuternde Interpretation zählt $\binom nk$ die Möglichkeiten, $k$ Elemente aus $n$ verschiedenen Elementen ohne Beachtung der Reihenfolge auszuwählen.

2.5 Aufgaben aus den Folien

2-A1 - Diagramme zu Mengen, PDF-S. 3. Ordnen Sie Begriffe und Schreibweisen zu. Die sieben Bilder werden in Leserichtung beschrieben: (1) kleiner Kreis $A$ ganz in $B$; (2) kleiner Kreis $B$ ganz in $A$; (3) Grundmenge außerhalb des Kreises $A$ markiert; (4) bei überlappenden Kreisen ist der nur zu $B$ gehörende Teil markiert; (5) nur die Überlappung markiert; (6) beide Kreise einschließlich Überlappung markiert; (7) nur der ausschließlich zu $A$ gehörende Teil markiert. Auswahl: Vereinigung, Teilmenge, Durchschnitt, Komplement, Differenzmenge und die entsprechenden Symbole.

2-A2 - Tautologie oder Widerspruch, PDF-S. 9. Was sind a) $A\lor\neg A$ und b) $A\land\neg A$?

2-A3 - Regen und Regenschirm, PDF-S. 12. Sei $A$: „Es regnet“, $B$: „Ich benutze einen Regenschirm“. Ordnen Sie zu: Konjunktion, Disjunktion, $A\Rightarrow B$, $B\Rightarrow A$ oder Äquivalenz.

2-A4 - Indexverschiebung, PDF-S. 21. Welche Summe ist gleich $\sum_{k=-3}^{4}(2k+1)$? Auswahl: $\sum_{k=1}^{8}(2k+5)$, $\sum_{k=1}^{8}(2k+9)$, $\sum_{k=1}^{8}(2k-7)$, $\sum_{k=1}^{8}(2k-3)$.

2-A5 - Symbole, PDF-S. 23. Ordnen Sie $5!$, $\binom73$, $\sum_{j=-3}^{3}5j$ und $\prod_{k=1}^{4}\frac{k^2}{2}$ den Ergebnissen 35, 12, 36, 0, 16, 120 zu.

2.6 Lösungen

2-L1. (1) Teilmenge $A\subseteq B$; (2) Teilmenge $B\subseteq A$; (3) Komplement $A^c=\overline A$; (4) Differenz $B\setminus A$; (5) Durchschnitt $A\cap B=B\cap A$; (6) Vereinigung $A\cup B=B\cup A$; (7) Differenz $A\setminus B$.

2-L2. a) Tautologie: Bei jedem Wahrheitswert von $A$ ist eine der beiden Aussagen wahr. b) Widerspruch: Eine Aussage und ihre Negation können nicht gleichzeitig wahr sein.

2-L3. In Reihenfolge: $A\Rightarrow B$, $A\land B$, $A\Leftrightarrow B$, $A\lor B$, $B\Rightarrow A$.

2-L4. Setze den neuen Index $j=k+4$, also $k=j-4$. Dann:

$$\sum_{k=-3}^{4}(2k+1)=\sum_{j=1}^{8}\bigl(2(j-4)+1\bigr)=\sum_{j=1}^{8}(2j-7).$$

Nur die dritte Antwort stimmt. Die ursprüngliche Summe hat die Werte $-5,-3,-1,1,3,5,7,9$ und ergibt 16.

2-L5. $5!=120$; $\binom73=7\cdot6\cdot5/(3\cdot2\cdot1)=35$; die symmetrische Summe ist 0. Für das Produkt gilt:

$$\prod_{k=1}^{4}\frac{k^2}{2}=\frac{(4!)^2}{2^4}=\frac{576}{16}=36.$$

12 und 16 sind hier Ablenkungsantworten. Der Nenner 2 gehört zu jedem Faktor.

Vorlesung 3 - Beweise und vollständige Induktion

Datum: 16.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL03-handout.pdf, 23 PDF-Seiten.

3.1 Warum Beispiele keine allgemeinen Beweise sind

Die Kontrolle einer Formel für $n=5$ zeigt nur diesen Einzelfall. Eine Behauptung „für alle $n\in\mathbb N$“ verlangt eine Argumentation für jeden möglichen Wert. Zum Widerlegen einer solchen Aussage genügt dagegen ein einziges Gegenbeispiel.

Ein vollständiger Beweis nennt zuerst die Behauptung (RU: утверждение; EN: claim) und Voraussetzungen, danach die Methode und die begründeten Schritte, am Ende die bewiesene Aussage. Objekte und Variablen müssen eingeführt werden. Ein Beweis endet häufig mit $\square$ oder „q.e.d.“.

3.2 Drei Beweismethoden

Ein direkter Beweis (RU: прямое доказательство; EN: direct proof) beginnt bei $A$ und leitet $B$ her. Beispiel: Wenn $n=2k$ gerade ist, gilt $n^3=8k^3=2(4k^3)$; daher ist $n^3$ gerade. Die Teilbarkeit (RU: делимость; EN: divisibility) $d\mid n$ bedeutet, dass $n=dm$ für eine passende ganze bzw. natürliche Zahl $m$ gilt.

Die Kontraposition (RU: контрапозиция; EN: contraposition) verwendet

$$(A\Rightarrow B)\iff(\neg B\Rightarrow\neg A).$$

Man beweist also „Wenn $n^3$ ungerade ist, dann ist $n$ ungerade“. Denn wäre $n$ gerade, wäre auch $n^3$ gerade. Die Kontraposition darf nicht mit der Umkehrung $B\Rightarrow A$ verwechselt werden.

Beim Widerspruchsbeweis (RU: доказательство от противного; EN: proof by contradiction) nimmt man die Voraussetzungen und die Negation der Schlussfolgerung an. Für das Beispiel: $n$ sei gerade und $n^3$ ungerade. Aus $n=2k$ folgt aber $n^3=2(4k^3)$, im Widerspruch zur Annahme.

Eine Äquivalenz beweist man oft in zwei getrennten Richtungen. Ein Existenzbeweis kann durch Angabe eines passenden Objekts erfolgen.

3.3 Vollständige Induktion

Die vollständige Induktion (RU: математическая индукция; EN: mathematical induction) beweist Aussagen $A(n)$ über natürliche Zahlen:

Induktionsanfang (RU: база индукции; EN: base case): Zeige $A(1)$ oder den vorgegebenen ersten Fall $A(k)$.
Induktionsvoraussetzung (RU: индукционное предположение; EN: induction hypothesis): Nimm $A(n)$ für ein beliebiges, aber festes $n$ an.
Induktionsschritt (RU: шаг индукции; EN: induction step): Leite unter Verwendung dieser Voraussetzung $A(n+1)$ her.
Induktionsschluss (RU: заключение индукции; EN: induction conclusion): Die Aussage gilt für alle Indizes ab dem Anfangswert.

Für die Summenformel $\sum_{i=1}^{n}i=n(n+1)/2$ lautet der Anfang $1=1\cdot2/2$. Im Schritt:

$$\sum_{i=1}^{n+1}i=\underbrace{\sum_{i=1}^{n}i}_{\text{Induktionsvoraussetzung}}+(n+1) =\frac{n(n+1)}2+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}2.$$

Die Zielaussage $A(n+1)$ wird nicht vorausgesetzt. Ohne Anfang oder ohne Verwendung der Induktionsvoraussetzung ist die Induktionsargumentation unvollständig.

3.4 Aufgaben und Arbeitsfragen aus den Folien

In dieser Datei gibt es keinen gesonderten Aufgabenblock. Die Motivationsfolie PDF-S. 6 fragt „Wahr oder falsch und warum?“. Ihre Aussagen werden hier als Aufgaben übernommen:

3-A1. $\sqrt2$ ist irrational.

3-A2. $\sum_{k=1}^{N}(2k-1)=N^2$ für $N\in\mathbb N$.

3-A3. Es gibt unendlich viele Primzahlen.

3-A4. Für $a,b\in2\mathbb Z$ ist $ab$ gerade.

3-A5. Für jedes $n\in\mathbb N$ gilt: $n$ gerade $\Rightarrow n^2$ gerade.

3-A6. Die Summe ungerader Zahlen ist gerade. Prüfen Sie die Formulierung und die Aussage für zwei ungerade Zahlen.

3-A7. Für alle $x,y\in\mathbb R$ gilt $xy=0\Leftrightarrow(x=0\lor y=0)$.

3.5 Lösungen

3-L1. Wahr. Angenommen $\sqrt2=p/q$ mit positiven ganzen Zahlen $p,q$, die teilerfremd (RU: взаимно простые; EN: coprime) sind. Dann $p^2=2q^2$, also ist $p^2$ gerade. Das Quadrat einer ungeraden Zahl $(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1$ ist ungerade; folglich ist $p$ gerade. Schreibe $p=2r$. Dann $4r^2=2q^2$, also $q^2=2r^2$, und auch $q$ ist gerade. Damit haben $p,q$ den gemeinsamen Teiler 2: Widerspruch. Irrational (RU: иррациональный; EN: irrational) bedeutet „nicht als Quotient ganzer Zahlen darstellbar“.

3-L2. Wahr, per Induktion. Anfang $N=1$: $1=1^2$. Voraussetzung: Die Summe bis $N$ sei $N^2$. Dann ist die Summe bis $N+1$ gleich $N^2+(2(N+1)-1)=N^2+2N+1=(N+1)^2$.

3-L3. Wahr. Eine Primzahl (RU: простое число; EN: prime number) ist eine natürliche Zahl größer als 1 mit genau den positiven Teilern 1 und sich selbst. Angenommen es gäbe nur die Primzahlen $p_1,\ldots,p_r$. Die Zahl $m=p_1\cdots p_r+1>1$ hat einen Primteiler. Keines der $p_i$ teilt $m$, da jeweils Rest 1 bleibt. Es muss eine weitere Primzahl geben: Widerspruch. Dabei muss $m$ selbst nicht prim sein.

3-L4. Wahr. $a=2r$, $b=2s$ mit $r,s\in\mathbb Z$ liefern $ab=4rs=2(2rs)$.

3-L5. Wahr. Für $n=2k$ gilt $n^2=4k^2=2(2k^2)$.

3-L6. Für zwei ungerade Zahlen wahr: $(2r+1)+(2s+1)=2(r+s+1)$. Ohne Angabe der Anzahl ist die Formulierung zu ungenau: $1+3+5=9$ ist ungerade. Eine Summe aus einer geraden Anzahl ungerader Zahlen ist gerade; aus einer ungeraden Anzahl ist sie ungerade.

3-L7. Wahr. Wenn $x=0$ oder $y=0$, ist $xy=0$. Umgekehrt: Ist $xy=0$ und $x\ne0$, darf durch $x$ geteilt werden; daraus folgt $y=0$. Dies ist die Nullproduktregel (RU: правило нулевого произведения; EN: zero-product property) für reelle Zahlen.

Vorlesung 4 - Funktionen, Bild, Urbild und Bijektivität

Datum: 17.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL04-handout.pdf, 25 PDF-Seiten.

4.1 Eine Funktion ist mehr als ihre Formel

Eine Funktion / Abbildung (RU: функция / отображение; EN: function / mapping) $f:D\to Z$ ordnet jedem $x\in D$ genau ein $f(x)\in Z$ zu. $D$ ist der Definitionsbereich (RU: область определения; EN: domain), $Z$ die Zielmenge (RU: целевое множество; EN: codomain), $x$ das Argument (RU: аргумент; EN: argument) und $f(x)$ der Funktionswert (RU: значение функции; EN: function value).

Eine Funktion muss für jedes Element ihres Definitionsbereichs definiert sein; mehrere mögliche Werte für dasselbe Argument sind nicht erlaubt. „Jedem $n$ einen Teiler von $n$ zuordnen“ ist ohne Auswahlregel keine Funktion nach $\mathbb N$. Dagegen wäre „die Menge aller Teiler“ eine Funktion mit einer passenden Zielmenge aus Mengen. Die Vorschrift $x\mapsto1/x$ ist keine Funktion auf ganz $\mathbb R$, wohl aber auf $\mathbb R\setminus{0}$.

Der maximale Definitionsbereich (RU: максимальная область определения; EN: maximal domain) umfasst alle Argumente, für die die Vorschrift sinnvoll ist. Zwei Funktionen sind nur dann gleich, wenn auch Definitionsbereich und Zielmenge übereinstimmen. Die beiden Funktionen $x\mapsto x^2$ auf $\mathbb R$ und auf $[0,\infty)$ sind deshalb verschieden.

Eine reelle Funktion hat $D,Z\subseteq\mathbb R$. Ihr Graph (RU: график; EN: graph) ist die Menge ${(x,f(x)):x\in D}$. Eine senkrechte Gerade darf den Graphen höchstens einmal schneiden.

4.2 Bild und Urbild

Das Bild / die Bildmenge (RU: образ / множество значений; EN: image / range) ist

$$f(D)={f(x):x\in D}\subseteq Z.$$

Die Bildmenge besteht aus den tatsächlich erreichten Werten; die Zielmenge aus den zugelassenen Werten. Für $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$, ist $f(\mathbb R)=[0,\infty)$.

Das Urbild (RU: прообраз; EN: preimage) einer Menge $A\subseteq Z$ lautet

$$f^{-1}(A)={x\in D:f(x)\in A}.$$

Für $x^2$ hat eine negative Zahl kein Urbild, 0 genau eines und eine positive Zahl zwei: $\pm\sqrt y$. Die Schreibweise $f^{-1}(A)$ für ein Urbild benötigt keine Umkehrfunktion. Ein einzelnes Argument besitzt immer genau ein Bild, aber ein Zielwert kann kein, ein oder mehrere Urbilder besitzen.

4.3 Injektiv, surjektiv, bijektiv

Injektiv (RU: инъективный; EN: injective) bedeutet:

$$f(x)=f(\widetilde x)\Rightarrow x=\widetilde x.$$

Verschiedene Argumente ergeben verschiedene Werte. Surjektiv (RU: сюръективный; EN: surjective) bedeutet $f(D)=Z$: Jeder Zielwert wird erreicht. Bijektiv (RU: биективный; EN: bijective) bedeutet beides: Jeder Zielwert hat genau ein Urbild.

Funktion $x\mapsto x^2$	Injektiv?	Surjektiv?
$\mathbb R\to\mathbb R$	nein, $f(-1)=f(1)$	nein, negative Werte fehlen
$[0,\infty)\to\mathbb R$	ja	nein
$\mathbb R\to[0,\infty)$	nein	ja
$[0,\infty)\to[0,\infty)$	ja	ja

Zum Beweisen der Injektivität startet man mit gleichen Funktionswerten. Zum Beweisen der Surjektivität wählt man einen beliebigen Zielwert $y$ und löst $f(x)=y$ mit $x\in D$. Ein nicht erreichter Zielwert widerlegt Surjektivität. Durch Einschränken der Zielmenge auf das Bild wird jede Funktion surjektiv; durch passende Einschränkung des Definitionsbereichs kann Mehrdeutigkeit beseitigt werden.

4.4 Aufgaben aus den Folien

4-A1 - Motivationsfrage, PDF-S. 5. Für welche Zeitwerte liefert das auf der Folie angegebene Modell $h(t)=10-9{,}81t^2$ einen sinnvollen Zusammenhang für einen Fall aus 10 m Höhe?

4-A2 - Funktionsgraphen, PDF-S. 9. Welche Bilder können Graphen einer reellen Funktion sein? A: Kreis um den Ursprung. B: zwei Hyperbeläste, einer im ersten und einer im dritten Quadranten, mit Lücke bei $x=0$. C: eine nach rechts geöffnete Kurve mit oberem und unterem Ast. D: eine wellenförmige Kurve, die zu jedem $x$ einen Wert hat.

4-A3 - Bildmenge, PDF-S. 14. Bestimmen Sie das Bild von $f:[-2,6)\to\mathbb R$, $f(x)=x^2-4$. Auswahl: $\mathbb R_{\ge0}$, $[-4,32)$, $[-4,\infty)$, $\mathbb R$.

4-A4 - Sinus und Bijektivität, PDF-S. 24. Wählen Sie $D$ und $Z$ für $f(x)=\sin x$, sodass die Funktion a) surjektiv, aber nicht injektiv; b) injektiv, aber nicht surjektiv; c) bijektiv ist. In der Aufgabenfolie steht für die Zielmenge teilweise $M$ statt $Z$.

4.5 Lösungen

4-L1. Im angegebenen Modell sind $t\ge0$ und $h(t)\ge0$ erforderlich. Daher $0\le t\le\sqrt{10/9{,}81}\approx1{,}010\,\mathrm s$. Quellenhinweis: Für den üblichen freien Fall aus Ruhe lautet das physikalische Modell $h(t)=10-\tfrac12gt^2$ mit $g\approx9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$. Die Folie lässt den Faktor $1/2$ weg; mit dem üblichen Modell ergäbe sich etwa $1{,}428\,\mathrm s$. Für die mathematische Frage wurde hier zuerst die tatsächlich angegebene Formel ausgewertet.

4-L2. B und D. Bei B ist $D=\mathbb R\setminus{0}$ möglich, bei D $D=\mathbb R$. A und C geben für manche $x$ zwei verschiedene $y$-Werte und verletzen die eindeutige Zuordnung.

4-L3. $[-4,32)$. Der kleinste Wert ist $f(0)=-4$ und wird angenommen. Für $x\to6^-$ nähert sich $f(x)$ der 32. Da 6 nicht im Definitionsbereich liegt und -6 ebenfalls nicht, wird 32 nicht erreicht. Alle Zwischenwerte werden erreicht.

4-L4. a) $D=[-\pi,\pi]$, $Z=[-1,1]$: alle Werte werden erreicht, aber $\sin0=\sin\pi=0$. b) $D=[-\pi/2,\pi/2]$, $Z=\mathbb R$: dort ist der Sinus streng wachsend, aber Werte außerhalb $[-1,1]$ fehlen. c) $D=[-\pi/2,\pi/2]$, $Z=[-1,1]$: streng wachsend und jeder Zielwert wird erreicht.

Vorlesung 5 - Verkettung, Umkehrfunktion und Rechenoperationen

Datum: 18.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL05-handout.pdf, 22 PDF-Seiten.

5.1 Verkettung

Eine Verkettung / Komposition (RU: композиция функций; EN: composition) führt erst eine Funktion, danach die zweite aus. Für $f:D_f\to Z_f$, $g:D_g\to Z_g$ und $f(D_f)\subseteq D_g$ gilt:

$$g\circ f:D_f\to Z_g,\qquad(g\circ f)(x)=g(f(x)).$$

Die rechte Funktion wird zuerst angewendet. Die Bedingung an die Bereiche verhindert, dass der zweite Schritt einen unzulässigen Eingangswert erhält. Falls die Bedingung nicht auf ganz $D_f$ gilt, kann man die Komposition gegebenenfalls auf ${x\in D_f:f(x)\in D_g}$ definieren.

Für $f(x)=2x$, $g(x)=x^2+1$, $h(x)=\sin x$:

$$g\circ f=4x^2+1,\quad f\circ g=2x^2+2,\quad h\circ f=\sin(2x),\quad f\circ h=2\sin x.$$

Komposition ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Sind $f$ und $g$ injektiv und die Komposition definiert, so ist $g\circ f$ injektiv.

5.2 Umkehrfunktion

Eine bijektive Funktion besitzt eine Umkehrfunktion (RU: обратная функция; EN: inverse function) $f^{-1}:Z\to D$. Sie ordnet jedem $y$ sein einziges Urbild zu:

$$f^{-1}(f(x))=x\quad(x\in D),\qquad f(f^{-1}(y))=y\quad(y\in Z).$$

Auch $f^{-1}$ ist bijektiv, und $(f^{-1})^{-1}=f$. Die Bezeichnung $f^{-1}$ meint hier nicht $1/f$.

Zum Berechnen löst man $y=f(x)$ nach $x$ auf und berücksichtigt die Einschränkungen des Definitionsbereichs. Für $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$, $f(x)=x^2$, ist $f^{-1}(y)=\sqrt y$; die negative Wurzel fällt wegen $x\ge0$ weg. Für $h(x)=3x$ auf $\mathbb R$ ist $h^{-1}(y)=y/3$.

Der Graph der Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung an $y=x$, der Winkelhalbierenden (RU: биссектриса; EN: angle bisector) des ersten und dritten Quadranten.

Für kompatible bijektive Funktionen gilt:

$$(f\circ g)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}.$$

Die Schritte werden in umgekehrter Reihenfolge rückgängig gemacht. Bei $f(x)=3x$, $g(x)=x^2$ auf $[0,\infty)$ ist $(f\circ g)(x)=3x^2$ und $(f\circ g)^{-1}(y)=\sqrt{y/3}$.

5.3 Punktweise Rechenoperationen

Für reelle Funktionen auf einem gemeinsamen Bereich $D$ werden die Operationen punktweise (RU: поточечно; EN: pointwise) ausgeführt:

$$ (\alpha f)(x)=\alpha f(x),\quad(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad(fg)(x)=f(x)g(x).$$

Für den Quotienten benötigt man $g(x)\ne0$:

$$\left(\frac fg\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$$

Wenn die ursprünglichen Bereiche verschieden sind, arbeitet man auf ihrer Schnittmenge und entfernt beim Quotienten zusätzlich die Nullstellen des Nenners. Eine Nullstelle (RU: нуль функции; EN: zero / root) ist ein $x$ mit $f(x)=0$. Der Graph kann die Achse dort auch nur berühren.

Für $f(x)=2x$, $g(x)=x^2+1$ ergeben sich $2f=4x$, $f+g=x^2+2x+1$, $fg=2x(x^2+1)$ und $f/g=2x/(x^2+1)$. Der letzte Ausdruck ist auf ganz $\mathbb R$ definiert, da $x^2+1>0$.

5.4 Aufgaben und Arbeitsfragen aus den Folien

5-A1 - Komposition, PDF-S. 8. Gegeben sind $g:[3,\infty)\to\mathbb R$, $g(x)=\sqrt{x-3}$, und $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2+2$. Welche Aussage stimmt?

a) $g\circ f$ ist auf $\mathbb R$ definiert und gleich $\sqrt{x^2-1}$. b) $g\circ f$ ist auf $\mathbb R$ definiert und gleich $x-1$. c) $f\circ g$ ist auf $[3,\infty)$ definiert und gleich $\sqrt{x^2-1}$. d) $f\circ g$ ist auf $[3,\infty)$ definiert und gleich $x-1$.

5-A2 - Beweisübung, PDF-S. 9. Beweisen Sie: Die wohldefinierte Verkettung zweier injektiver Funktionen ist injektiv.

5-A3 - Arbeitsfrage im Beispiel, PDF-S. 7. Warum sind $h\circ f$ und $f\circ h$ für $f(x)=2x$, $h(x)=\sin x$ auf $\mathbb R$ definiert?

5-A4 - Arbeitsfrage im Beispiel, PDF-S. 12. Warum ist $h:\mathbb R\to\mathbb R$, $h(x)=3x$, bijektiv?

5.5 Lösungen

5-L1. Nur d). $g([3,\infty))=[0,\infty)\subseteq\mathbb R=D_f$, also:

$$f(g(x))=(\sqrt{x-3})^2+2=x-1\quad(x\ge3).$$

Für $g\circ f$ müsste $x^2+2\ge3$, also $|x|\ge1$ gelten. Daher ist diese Komposition nicht auf ganz $\mathbb R$ definiert. Auf $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ hat sie tatsächlich die Vorschrift $\sqrt{x^2-1}$.

5-L2. Seien $x,\widetilde x\in D_f$ mit $g(f(x))=g(f(\widetilde x))$. Aus der Injektivität von $g$ folgt $f(x)=f(\widetilde x)$; aus der von $f$ folgt $x=\widetilde x$. Die Bereichsbedingung stellt sicher, dass $f(x)$ und $f(\widetilde x)$ im Bereich von $g$ liegen.

5-L3. $f(\mathbb R)=\mathbb R\subseteq D_h$ und $h(\mathbb R)=[-1,1]\subseteq D_f$. Beide Bereichsbedingungen sind erfüllt.

5-L4. Aus $3x=3\widetilde x$ folgt $x=\widetilde x$: injektiv. Für jedes $y\in\mathbb R$ ist $x=y/3\in\mathbb R$ ein Urbild: surjektiv.

Vorlesung 6 - Funktionseigenschaften und Zahlenfolgen

Datum: 21.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL06-handout.pdf, 34 PDF-Seiten.

6.1 Gerade und ungerade Funktionen

Auf einem zu 0 symmetrischen Definitionsbereich heißt $f$ gerade (RU: чётная; EN: even), wenn $f(-x)=f(x)$; ihr Graph ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Sie heißt ungerade (RU: нечётная; EN: odd), wenn $f(-x)=-f(x)$; ihr Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Symmetrie des Bereichs ist nötig, damit beide Werte definiert sind.

$x^2$, $x^4$ und $\cos x$ sind gerade; $x$, $x^3$ und $\sin x$ ungerade. $-x^2+3x$ ist keines von beidem. Die Nullfunktion ist sowohl gerade als auch ungerade.

Summen gerader Funktionen sind gerade; Summen ungerader sind ungerade. Produkte: gerade mal gerade ist gerade; ungerade mal ungerade ist gerade; gerade mal ungerade ist ungerade.

6.2 Beschränktheit und Monotonie

$f:D\to\mathbb R$ ist beschränkt (RU: ограниченная; EN: bounded), falls ein $C\ge0$ existiert mit $|f(x)|\le C$ für alle $x\in D$. Die Schranke muss für den gesamten Bereich gelten. $\sin$ und $\cos$ sind durch 1 beschränkt; $x^3$ auf $\mathbb R$ ist unbeschränkt.

Für $x<y$ in einem Intervall gilt:

Bezeichnung	Bedingung
monoton wachsend (RU: неубывающая; EN: nondecreasing)	$f(x)\le f(y)$
streng monoton wachsend (RU: строго возрастающая; EN: strictly increasing)	$f(x)<f(y)$
monoton fallend (RU: невозрастающая; EN: nonincreasing)	$f(x)\ge f(y)$
streng monoton fallend (RU: строго убывающая; EN: strictly decreasing)	$f(x)>f(y)$

$f(x)=x$ wächst streng; $1/x$ fällt streng auf $(0,\infty)$. $x+|x|$ ist für $x\le0$ gleich 0 und für $x>0$ gleich $2x$: monoton wachsend, aber nicht streng.

Strenge Monotonie impliziert Injektivität: Für verschiedene Argumente sind die Werte verschieden. Die Umkehrung gilt allgemein nicht. Das Folienbeispiel $f(x)=x+2$ für $0\le x<1$ und $f(x)=x-1$ für $1\le x\le2$ ist injektiv, weil die beiden Bildbereiche $[2,3)$ und $[0,1]$ disjunkt sind. Es ist aber nicht monoton: Innerhalb der Teilintervalle steigt es, bei 1 springt es abwärts.

6.3 Zahlenfolgen und Bildungsgesetze

Eine Zahlenfolge (RU: числовая последовательность; EN: numerical sequence) ist eine Funktion $a:\mathbb N\to\mathbb R$. Man schreibt $(a_n)_{n\in\mathbb N}$. $a_n$ heißt Folgeglied (RU: член последовательности; EN: sequence term), $n$ der Index. Die Reihenfolge zählt; $(a_n)$ bezeichnet die ganze Folge, $a_n$ ein einzelnes Glied.

Eine explizite Darstellung (RU: явное задание; EN: explicit formula) gibt $a_n$ unmittelbar aus $n$ an, etwa $a_n=2n$. Eine rekursive Darstellung (RU: рекуррентное задание; EN: recursive definition) verwendet Anfangswerte und eine Vorschrift, z. B. $a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+2$. Eine Rekursion ohne ausreichende Anfangswerte bestimmt die Folge nicht eindeutig.

Folgenmonotonie kann mit benachbarten Gliedern geprüft werden: wachsend bedeutet $a_{n+1}\ge a_n$ für alle $n$, fallend $a_{n+1}\le a_n$. Praktische Verfahren sind die Differenz $a_{n+1}-a_n$ und, nur bei positiven Gliedern, der Quotient $a_{n+1}/a_n$. Ein Quotient mindestens 1 bedeutet dann Wachstum. Durch Multiplikation mit -1 kehrt sich die Monotonierichtung um.

6.4 Aufgaben aus den Folien

6-A1 - Symmetriequiz, PDF-S. 9. Welche Aussagen sind richtig? a) $(x-2)^2$ ist gerade. b) $\sin x\cos x$ ist ungerade. c) $x^2+\sin x$ ist gerade. d) $1/(x^2+1)+x^4$ ist gerade. e) $\sin x\cdot x/(1+x^2)$ ist gerade. Alle Funktionen haben Bereich $\mathbb R$.

6-A2 - Beschränktheitsquiz, PDF-S. 11. Welche Funktionen sind beschränkt? a) $1/(x+3)$ auf $[0,\infty)$; b) $1/x$ auf $(0,\infty)$; c) $x^3/(1+x^2)$ auf $\mathbb R$; d) $x/(1+x^2)$ auf $\mathbb R$.

6-A3 - Hausübung, PDF-S. 20. Untersuchen Sie $f:[0,\infty)\to\mathbb R$ und $g:\mathbb R\to\mathbb R$, beide mit Vorschrift $1/(1+x^2)$, auf Injektivität, Surjektivität, Monotonie und Beschränktheit. Bestimmen Sie die Bildmengen. Sind die Funktionen mit Zielmenge gleich der jeweiligen Bildmenge umkehrbar? Falls ja, geben Sie die Umkehrfunktion an. Ist $g$ gerade oder ungerade?

6-A4 - Darstellung einer Folge, PDF-S. 27. Geben Sie $1,3,5,7,9,11,\ldots$ explizit und rekursiv an.

6-A5 - Beweisübung, PDF-S. 33. Zeigen Sie: $(a_n)$ ist monoton wachsend genau dann, wenn $a_m\le a_n$ für alle $m<n$ gilt. Formulieren Sie die fallende Variante.

6-A6 - Folgenmonotonie, PDF-S. 34. Untersuchen Sie für $n\in\mathbb N$: a) $a_n=1/(3n)$; b) $a_n=n^2-2n$; c) $a_n=(-1)^n\,2/n$; d) $a_n=4n/(n+4)$.

6.5 Lösungen

6-L1. Richtig sind b), d), e). a) $f(1)=1$, $f(-1)=9$: nicht gerade. b) Ungerader Sinus mal gerader Kosinus ist ungerade. c) Bei $x=\pi/2$ unterscheiden sich die Werte für $x$ und $-x$. d) Beide Summanden sind gerade. e) Sinus und $x/(1+x^2)$ sind beide ungerade; ihr Produkt ist gerade.

6-L2. a) Beschränkt: $0<1/(x+3)\le1/3$, Gleichheit bei $x=0$. b) Unbeschränkt, da $1/x\to\infty$ für $x\to0^+$. c) Unbeschränkt: Für $|x|\ge1$ gilt $|x^3/(1+x^2)|\ge|x|/2$. d) Beschränkt durch $1/2$, denn $(|x|-1)^2\ge0$ liefert $2|x|\le1+x^2$.

6-L3. Beide Bildmengen sind $(0,1]$ und beide Funktionen sind beschränkt durch 1, aber nicht surjektiv nach $\mathbb R$. Für $0\le x<y$ gilt $x^21/(1+y^2)$. Also ist $f$ streng fallend und injektiv. Mit Zielmenge $(0,1]$ ist $f$ bijektiv; aus $y=1/(1+x^2)$ folgt

$$f^{-1}:(0,1]\to[0,\infty),\qquad f^{-1}(y)=\sqrt{\frac1y-1}.$$

$g$ ist gerade, da $(-x)^2=x^2$. Es ist nicht injektiv, etwa $g(1)=g(-1)=1/2$, und auch mit Zielmenge $(0,1]$ nicht umkehrbar. Auf $(-\infty,0]$ wächst es streng, auf $[0,\infty)$ fällt es streng; auf ganz $\mathbb R$ ist es nicht monoton. Den Wert 0 erreicht keine der Funktionen.

6-L4. $a_n=2n-1$; rekursiv $a_1=1$, $a_{n+1}=a_n+2$.

6-L5. Aus $a_{j+1}\ge a_j$ folgt durch eine Kette $a_m\le a_{m+1}\le\cdots\le a_n$. Umgekehrt setzt man $m=n$, den zweiten Index $n+1$, und erhält die Nachbarbedingung. Bei fallenden Folgen werden alle Ungleichungen umgedreht.

6-L6. a) Streng fallend: $a_{n+1}/a_n=n/(n+1)<1$. b) Streng wachsend: $a_{n+1}-a_n=2n-1>0$. c) Nicht monoton: $a_1=-2$, $a_2=1$, $a_3=-2/3$ zeigen erst einen Anstieg, dann einen Abstieg. d) Streng wachsend:

$$a_{n+1}-a_n=4\left(\frac{n+1}{n+5}-\frac n{n+4}\right)=\frac{16}{(n+4)(n+5)}>0.$$

Vorlesung 7 - Beschränktheit, Konvergenz und Grenzwertsätze

Datum: 22.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL07-handout.pdf, 36 PDF-Seiten. Das Zusatzblatt 2026_MVK_Übungen-Folgen_Auf.pdf gehört thematisch und nach seinem Datum hierher.

7.1 Schranken von Folgen

Eine obere Schranke (RU: верхняя граница; EN: upper bound) $K$ erfüllt $a_n\le K$ für alle $n$. Eine untere Schranke (RU: нижняя граница; EN: lower bound) $k$ erfüllt $a_n\ge k$. Die Folge ist beschränkt (RU: ограниченная; EN: bounded), wenn sie beide besitzt. Äquivalent dazu gibt es $C\ge0$ mit $|a_n|\le C$ für alle $n$.

Aus $k\le a_n\le K$ gewinnt man $C=\max(|k|,|K|)$; aus $|a_n|\le C$ gewinnt man die Schranken $-C,C$. Schranken müssen keine Folgeglieder sein. Bei $a_n=1/n$ sind 0 und 1 die besten unteren bzw. oberen Schranken; 0 wird nicht angenommen.

Monoton wachsende Folgen sind durch ihr erstes Glied nach unten beschränkt, monoton fallende durch ihr erstes Glied nach oben. Daraus folgt keine Beschränktheit in der anderen Richtung.

7.2 Konvergenz und die Rolle der Quantoren

Eine $\varepsilon$-Umgebung (RU: эпсилон-окрестность; EN: epsilon neighborhood) von $a$ ist

$$U_\varepsilon(a)={x:|x-a|<\varepsilon}=(a-\varepsilon,a+\varepsilon).$$

Die Folge konvergiert (RU: сходится; EN: converges) gegen den Grenzwert / Limes (RU: предел; EN: limit) $a\in\mathbb R$, wenn

$$\forall\varepsilon>0\ \exists n_0=n_0(\varepsilon)\in\mathbb N\ \forall n\ge n_0: |a_n-a|<\varepsilon.$$

Man schreibt $a_n\to a$ oder $\lim_{n\to\infty}a_n=a$. Jede beliebig kleine Toleranz muss ab einem passenden Index für alle späteren Glieder eingehalten werden. $n_0$ darf von $\varepsilon$ abhängen. Einige frühe Glieder außerhalb der Umgebung sind erlaubt. Unendlich viele nahe Glieder allein genügen nicht.

Für $a_n=(-1)^n/n$ wähle $n_0>1/\varepsilon$. Dann ist für $n\ge n_0$:

$$|a_n-0|=1/n\le1/n_0<\varepsilon.$$

Der Vorzeichenwechsel verhindert Konvergenz also nicht, wenn die Größe der Schwankung gegen 0 geht. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge (RU: бесконечно малая последовательность; EN: null sequence).

7.3 Grundlegende Sätze

Eindeutigkeit: Eine konvergente Folge hat nur einen Grenzwert. Hätte sie verschiedene Grenzwerte $a,b$, wären die offenen Umgebungen mit Radius $|a-b|/2$ disjunkt. Ab einem genügend großen Index müsste jedes Glied in beiden liegen: unmöglich.

Konvergenz impliziert Beschränktheit: Wähle $\varepsilon=1$. Alle späteren Glieder erfüllen $|a_n|\le|a|+1$. Die endlich vielen früheren Glieder kann man zusammen mit dieser Zahl durch ein Maximum beschränken. Die Umkehrung ist falsch: $(-1)^n$ ist beschränkt, aber nicht konvergent.

Abstandskriterium: $a_n\to a$ genau dann, wenn $|a_n-a|\to0$.

Wichtige Nullfolgen: $\alpha/n^k$ für $k\in\mathbb N$ und $\alpha q^n$ für $|q|<1$. Für die erste wählt man $n_0>(|\alpha|/\varepsilon)^{1/k}$. Für $0<|q|<1$ ergibt $|\alpha||q|^n<\varepsilon$ die Bedingung $n>\ln(\varepsilon/|\alpha|)/\ln|q|$; beim Teilen durch den negativen Logarithmus kehrt sich das Zeichen um. Die Fälle $\alpha=0$ bzw. $q=0$ sind unmittelbar.

7.4 Divergenz

Divergent (RU: расходящаяся; EN: divergent) bedeutet: Es existiert kein endlicher reeller Grenzwert. Bestimmte Divergenz (RU: расходимость к бесконечности; EN: divergence to infinity) bedeutet:

$$a_n\to+\infty\iff\forall C>0\ \exists n_0\ \forall n\ge n_0:a_n\ge C,$$ $$a_n\to-\infty\iff\forall C>0\ \exists n_0\ \forall n\ge n_0:a_n\le-C.$$

$n$ divergiert bestimmt gegen $+\infty$, $-n$ gegen $-\infty$; $n(-1)^n$ ist divergent ohne eine dieser Richtungen. „Unbeschränkt“ und „bestimmt divergent“ sind verschiedene Aussagen.

Ist $a_n\to0$ mit $a_n\ne0$, so gilt $1/|a_n|\to+\infty$. Ohne Betrag kann ein Vorzeichenwechsel bestimmte Divergenz verhindern. Umgekehrt ist der Kehrwert einer bestimmt divergenten Folge ab einem genügend großen Index eine Nullfolge.

7.5 Grenzwertsätze und Sandwich-Lemma

Für $a_n\to a$, $b_n\to b$ und $\alpha\in\mathbb R$:

$$|a_n|\to|a|,\quad a_n\pm b_n\to a\pm b,\quad\alpha a_n\to\alpha a,\quad a_nb_n\to ab.$$

Wenn $b\ne0$ und die Nenner definiert sind, gilt $a_n/b_n\to a/b$. Ist $b=0$ und $a\ne0$, divergiert der Quotient; er muss nicht bestimmt divergieren. Sind beide Grenzwerte 0, folgt nichts: $\frac{1/n}{1/n}=1$, $\frac{1/n^2}{1/n}\to0$, $\frac{1/n}{1/n^2}\to\infty$.

Das Sandwich-Lemma (RU: теорема о двух милиционерах; EN: squeeze theorem) besagt: Wenn ab einem Index $b_n\le a_n\le c_n$ und $b_n,c_n\to L$, dann $a_n\to L$.

7.6 Häufig benötigte Grenzwerte

$$\frac{p_kn^k+\cdots+p_0}{q_kn^k+\cdots+q_0}\longrightarrow\frac{p_k}{q_k}\quad(q_k\ne0).$$

Man teilt Zähler und Nenner durch $n^k$. Bei unterschiedlichen Graden dominieren die höchsten Potenzen: kleinerer Zählergrad gibt 0; gleicher Grad den Quotienten der führenden Koeffizienten; größerer Zählergrad führt, je nach Vorzeichen, zu unbeschränktem Wachstum.

Weitere Folienresultate:

$$\frac{\ln n}{n^\alpha}\to0\ (\alpha>0),\qquad n^\alpha q^n\to0\ (|q|<1),$$ $$\sqrt[n]{a}\to1\ (a>0),\quad\sqrt[n]{n}\to1,\quad \left(1+\frac1n\right)^n\to e,\quad\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\to e.$$

Die letzten Resultate werden in der Quelle als bekannte Grenzwerte aufgeführt, nicht vollständig bewiesen. Als Größenordnung gilt: logarithmisches Wachstum ist langsamer als positive Potenzen, und exponentielles Wachstum mit Basis größer als 1 ist schneller als feste Potenzen.

7.7 Aufgaben aus den Folien

7-A1 - Beschränktheit, PDF-S. 10. Ordnen Sie $-n^2+4$, $(-1)^n$, $n(-1)^n$ und $n^7$ zu: nach oben beschränkt, nach unten beschränkt, beidseitig beschränkt oder in keiner Richtung beschränkt.

7-A2 - Hausübung, PDF-S. 12. Geben Sie a) eine monoton wachsende Folge mit oberer Schranke 5; b) eine monoton fallende Folge mit unterer Schranke 2 an.

7-A3 - Konvergenzquiz, PDF-S. 25. Welche Folgen konvergieren? a) $(-2)^n+5/n$; b) $\sin(n\pi)$; c) $\cos(n\pi)$; d) $(-1)^n e^{-n}$.

7-A4 - Hausübung, PDF-S. 31. Finden Sie eine Nullfolge $b_n\ne0$, deren Kehrwerte nicht bestimmt divergieren.

7-A5 - Grenzwertrechnung, PDF-S. 34. Es seien $a_n=(3n-1)/(n+1)\to3$, $b_n=-7+2/n\to-7$. Bestimmen Sie die Grenzwerte von $c_n=a_n+b_n$ und $d_n=a_n\cdot2b_n$.

7-A6 - Beweisübung, PDF-S. 7. Zeigen Sie: Eine monoton fallende Folge ist nach oben beschränkt.

7-A7 - Beweisübungen, PDF-S. 32-33. Begründen Sie die Grenzwertsätze für Betrag, Summe, Skalarmultiplikation, Produkt und Kehrwert. Zeigen Sie außerdem: Für $a_n\to a\ne0$, $b_n\to0$ und $b_n\ne0$ ist $a_n/b_n$ divergent. Die Quelle nennt für die Sätze „Literatur / Übung“ und für die letzte Folgerung ausdrücklich „Übung“.

7.8 Lösungen zu den Folienaufgaben

7-L1. $-n^2+4\le3$ ist nur nach oben beschränkt; es geht gegen $-\infty$. $(-1)^n$ ist in beiden Richtungen durch $-1,1$ beschränkt. $n(-1)^n$ besitzt keine obere und keine untere Schranke. $n^7\ge1$ ist nur nach unten beschränkt.

7-L2. a) $a_n=5-1/n$: streng wachsend und kleiner als 5. b) $b_n=2+1/n$: streng fallend und größer als 2. Die Schranke muss nicht angenommen werden.

7-L3. b) und d) konvergieren gegen 0. Für b) ist jedes Glied genau 0. Für d) gilt $|d_n|=e^{-n}\to0$. c) ist $(-1)^n$ und hat wechselnde Werte $\pm1$. a) ist unbeschränkt: Die geraden Indizes wachsen gegen $+\infty$, die ungeraden gehen gegen $-\infty$; der Term $5/n$ ändert das nicht.

7-L4. $b_n=(-1)^n/n\to0$, aber $1/b_n=n(-1)^n$ wechselt zwischen immer größeren positiven und negativen Werten.

7-L5. $c_n\to3-7=-4$ und $d_n\to3\cdot2\cdot(-7)=-42$. Man kann außerdem $a_n=3-4/(n+1)$ schreiben und den Ausgangsgrenzwert direkt erkennen.

7-L6. Aus $a_{n+1}\le a_n$ folgt $a_n\le a_1$ für alle $n$. Daher ist $a_1$ eine obere Schranke.

7-L7. Für ein beliebiges $\varepsilon>0$:

Betrag: $\bigl||a_n|-|a|\bigr|\le|a_n-a|\to0$.
Summe: Wähle einen gemeinsamen Index, ab dem $|a_n-a|<\varepsilon/2$ und $|b_n-b|<\varepsilon/2$. Dann ist $|(a_n+b_n)-(a+b)|<\varepsilon$.
Skalarmultiplikation: Für $\alpha\ne0$ genügt $|a_n-a|<\varepsilon/|\alpha|$; für $\alpha=0$ ist die Aussage unmittelbar.
Produkt: Wegen Konvergenz gibt es eine Schranke $|a_n|\le C$. Mit $M=\max(1,C,|b|)$ und Fehlern jeweils kleiner als $\varepsilon/(2M)$ gilt $|a_nb_n-ab|\le|a_n||b_n-b|+|b||a_n-a|<\varepsilon$.
Kehrwert: Für $a\ne0$ gilt ab einem Index $|a_n|\ge|a|/2$. Dann $|1/a_n-1/a|\le2|a_n-a|/|a|^2\to0$.
Quotient mit Nennergrenzwert 0: Wäre $a_n/b_n\to L\in\mathbb R$, ergäbe die Produktregel $a_n=(a_n/b_n)b_n\to L\cdot0=0$, im Widerspruch zu $a\ne0$.

7.9 Zusatzblatt „Folgen“ - Aufgaben

Z-A1 - Verständnisfragen, Zusatzblatt PDF-S. 1. a) Geben Sie eine Folge an; welche Eigenschaft macht eine Funktion zu einer Zahlenfolge? b) Geben Sie eine Funktion an, die keine Zahlenfolge ist. c) Welche Eigenschaften von Folgen wurden behandelt? d) Beispiel einer monoton fallenden, beschränkten Folge. e) Beispiel einer weder nach oben noch nach unten beschränkten Folge. f) Beispiel einer nach oben beschränkten Folge. g) Beispiel einer durch 7 nach oben beschränkten Folge.

Z-A2 - Monotonie und Beschränktheit, Zusatzblatt PDF-S. 1. Untersuchen Sie

$$a_n=15-\frac{4n^3}{3^n}.$$

Ohne Beweis darf $0<4n^3/3^n<5$ verwendet werden. Eine Wertetabelle kann helfen.

Z-A3 - Konvergenzbeweis, Zusatzblatt PDF-S. 1. Für $a_n=3+1/n^2$ finden Sie eine Bedingung an $n_0(\varepsilon)$ und beweisen Sie ausdrücklich $a_n\to3$ mit $|a_n-3|<\varepsilon$ für alle $n\ge n_0$.

Z-A4 - Grenzwertsätze, Zusatzblatt PDF-S. 2. Berechnen Sie a) $\lim(3/n+7)$; b) $\lim5(1+1/n)^n$; c) $\lim(2-1/n)(2/3)^n$; d) $\lim(14n-3)/(15+7n)$.

Z-A5 - Divergenz, Zusatzblatt PDF-S. 2. Geben Sie a) eine divergente, nicht bestimmt divergente Folge; b) eine Folge mit Grenzverhalten $-\infty$; c) eine Folge mit Grenzverhalten $+\infty$ an.

7.10 Zusatzblatt „Folgen“ - Lösungen

Z-L1. a) $a:\mathbb N\to\mathbb R$, $a_n=1/n$. Entscheidend sind die natürlichen Zahlen als Indexbereich und reelle Werte. b) $f:\mathbb R\to\mathbb R$, $f(x)=x^2$ ist mit diesem Bereich keine Zahlenfolge. c) Explizite oder rekursive Darstellung, Monotonie, obere/untere Beschränktheit, Konvergenz, Nullfolge, Divergenz und bestimmte Divergenz. d) $1/n$, mit $0<1/n\le1$. e) $n(-1)^n$. f) $-n$ mit oberer Schranke -1. g) $7-1/n<7$.

Z-L2. Aus dem erlaubten Hinweis folgt $10<a_n<15$: Die Folge ist beschränkt. Zur Monotonie setze $t_n=4n^3/3^n>0$. Dann

$$\frac{t_{n+1}}{t_n}=\frac{(n+1)^3}{3n^3}=\frac13\left(1+\frac1n\right)^3.$$

Für $n=1,2$ ist dieser Quotient größer als 1, nämlich $8/3$ bzw. $9/8$. Für $n\ge3$ ist er höchstens $64/81<1$. Daher wächst $t_n$ bis $t_3$ und fällt danach; $a_n=15-t_n$ fällt bis $a_3$ und wächst ab $n=3$ streng. Auf ganz $\mathbb N$ ist $a_n$ nicht monoton.

Die ersten Werte sind $a_1=41/3$, $a_2=103/9$, $a_3=11$, $a_4=959/81$. Das Minimum ist 11 bei $n=3$. Außerdem gilt $n^3(1/3)^n\to0$, also $a_n\to15$ von unten. 15 ist die kleinste obere Schranke und wird nicht angenommen.

Z-L3. Wähle $n_0>1/\sqrt\varepsilon$, etwa $n_0=\lfloor1/\sqrt\varepsilon\rfloor+1$. Dann gilt für jedes $n\ge n_0$:

$$|a_n-3|=\frac1{n^2}\le\frac1{n_0^2}<\varepsilon.$$

Da dies für jedes $\varepsilon>0$ möglich ist, konvergiert $a_n$ gegen 3. Die Abhängigkeit $n_0=n_0(\varepsilon)$ ist wesentlich; ein fester Index genügt nicht für alle Toleranzen.

Z-L4. a) 7. b) $5e$. c) $2\cdot0=0$. d) Nach Division durch $n$: $(14-3/n)/(7+15/n)\to14/7=2$.

Z-L5. a) $(-1)^n$; b) $-n$; c) $n$. Bei a) liegen zwei verschiedene konstante Teilfolgen vor, daher gibt es keinen Grenzwert und auch keine Divergenz gegen eine feste Unendlichkeitsrichtung.

Vorlesung 8 - Funktionsgrenzwerte und Stetigkeit

Datum: 23.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL08-handout.pdf, 37 PDF-Seiten.

8.1 Häufungspunkte

Ein Häufungspunkt (RU: предельная точка множества; EN: accumulation point) $x_0$ einer Menge $M\subseteq\mathbb R$ ist ein Punkt, in dessen beliebig kleiner Umgebung ein anderer Punkt aus $M$ liegt:

$$\forall\varepsilon>0\ \exists x\in M:0<|x-x_0|<\varepsilon.$$

$x_0$ muss nicht selbst zu $M$ gehören. Äquivalent: Jede Umgebung enthält unendlich viele Elemente von $M$, oder es gibt eine Folge $x_n\in M\setminus{x_0}$ mit $x_n\to x_0$.

Eine endliche Menge hat keine Häufungspunkte; $\mathbb N$ ebenfalls keine reellen Häufungspunkte. Für ein nicht entartetes Intervall mit Grenzen $a<b$ ist die Menge der Häufungspunkte $[a,b]$, unabhängig von offenen oder geschlossenen Enden. ${1/n:n\in\mathbb N}$ hat genau den Häufungspunkt 0. Jeder reelle Punkt ist Häufungspunkt von $\mathbb Q$.

Der Begriff legt fest, wo ein Funktionsgrenzwert sinnvoll untersucht werden kann. Bei $\sqrt x$ auf $[0,\infty)$ kann man sich 0 von rechts nähern, aber -2 nicht aus diesem Definitionsbereich annähern.

8.2 Grenzwert einer Funktion

Für $f:D\to\mathbb R$ und einen Häufungspunkt $x_0$ von $D$ gilt $\lim_{x\to x_0}f(x)=L$, wenn jede Folge $x_n\in D\setminus{x_0}$ mit $x_n\to x_0$ die Bedingung $f(x_n)\to L$ erfüllt.

Zum Nachweis der Nichtexistenz reichen zwei Annäherungsfolgen mit verschiedenen Grenzwerten. Für $|x|/x$ führen $x_n=1/n$ und $\widetilde x_n=-1/n$ auf 1 und -1. Für $|x|$ führen dagegen alle Nullfolgen auf den Wert 0.

Das äquivalente $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium (RU: эпсилон-дельта-критерий; EN: epsilon-delta criterion) lautet:

$$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in D: 0<|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.$$

$\delta$ kontrolliert die Nähe der Argumente, $\varepsilon$ die Nähe der Werte. Die Bedingung $x\ne x_0$ zeigt: Der Grenzwert betrachtet das Verhalten um den Punkt. Er hängt nicht von einem einzelnen festgelegten Wert $f(x_0)$ ab.

8.3 Einseitige und unendliche Grenzwerte

Ein linksseitiger Grenzwert (RU: левосторонний предел; EN: left-hand limit) $\lim_{x\to x_0^-}f(x)$ verwendet nur $xx_0$. Die Pfeile $x\nearrow x_0$ und $x\searrow x_0$ bedeuten dieselben Annäherungen.

Wenn beide Seiten im Definitionsbereich annäherbar sind, existiert der zweiseitige endliche Grenzwert genau dann, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind. Am Rand des Definitionsbereichs wird relativ zum vorhandenen Bereich untersucht.

Die Heaviside-Funktion $H(x)=0$ für $x<0$ und $H(x)=1$ für $x\ge0$ hat bei 0 links den Grenzwert 0, rechts 1, also keinen zweiseitigen Grenzwert. Für $H(-x)+H(x)$ ist der Grenzwert bei 0 hingegen 1, während der Funktionswert 2 ist.

Auch $\lim_{x\to x_0}f(x)=\pm\infty$ und $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L$ werden über alle entsprechenden Annäherungsfolgen definiert. Bei $1/x$:

$$\lim_{x\to0^-}\frac1x=-\infty,\qquad\lim_{x\to0^+}\frac1x=+\infty,\qquad \lim_{x\to\pm\infty}\frac1x=0.$$

Der letzte Grenzwert ist derselbe, obwohl die Werte bei $+\infty$ positiv und bei $-\infty$ negativ sind.

8.4 Rechenregeln und typische Lücken

Für existierende endliche Grenzwerte gelten die Regeln für Betrag, Summe, Differenz und Produkt. Beim Quotienten muss der Nennergrenzwert ungleich 0 sein. Diese Regeln gelten ebenso einseitig.

Eine Definitionslücke (RU: точка, где функция не определена; EN: gap in the domain) heißt hebbar (RU: устранимая; EN: removable), wenn ein endlicher Grenzwert existiert und man den fehlenden Wert passend einsetzen kann. Eine Polstelle (RU: полюс; EN: pole) besitzt unendliches Grenzverhalten; die Gerade $x=x_0$ ist dann eine senkrechte Asymptote (RU: асимптота; EN: asymptote). Ein endlicher Grenzwert für $x\to\pm\infty$ ergibt eine waagerechte Asymptote $y=L$.

Oszillation (RU: колебание; EN: oscillation) kann einen Grenzwert auch ohne Sprung verhindern: $\sin(1/x)$ hat bei 0 keinen Grenzwert. Dagegen gilt $|x\sin(1/x)|\le|x|$, daher $x\sin(1/x)\to0$ durch das Sandwich-Prinzip.

8.5 Stetigkeit

$f$ heißt stetig (RU: непрерывная; EN: continuous) in $x_0\in D$, wenn

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0).$$

Grenzwert und Funktionswert müssen also übereinstimmen. Auf $D$ stetig heißt: in jedem Punkt von $D$ stetig. Für stetige Funktionen darf man bei $x_n\to x_0$ die Grenzwertbildung mit der Funktionsauswertung vertauschen: $f(x_n)\to f(x_0)$. Kleine Änderungen des Arguments führen lokal zu kleinen Änderungen der Werte.

Die Fortsetzung von $x\sin(1/x)$ durch den Wert 0 ist stetig. Die Fortsetzung von $\sin(1/x)$ durch 0 bleibt unstetig. Die Heaviside-Funktion ist bei 0 unstetig.

8.6 Aufgaben aus den Folien

8-A1 - Grenzwertquiz, PDF-S. 16. Sei $f(x)=(3x^2+5x-2)/(x^2+2)$ für $x\ne0$ und $f(0)=5$. Ist der Grenzwert bei 0 gleich -1, 3, 5 oder existiert er nicht?

8-A2 - Rationale Funktion, PDF-S. 30. Untersuchen Sie $f(x)=(3x^2-7x-20)/((x-4)x)$ auf $\mathbb R\setminus{0,4}$ an den Definitionslücken und für $x\to\pm\infty$.

8-A3 - Hebbare Lücke, PDF-S. 31. Bestimmen Sie das Grenzverhalten von $(x^2-4)/(x+2)$ für $x\to-2$.

8-A4 - Grenzwerte im Unendlichen, PDF-S. 31. Bestimmen Sie $\lim_{x\to\pm\infty}(9x+1)/(6-3x)$.

8.7 Lösungen

8-L1. Der Grenzwert ist $(-2)/2=-1$, da der Nenner bei 0 nicht verschwindet. Der festgelegte Wert $f(0)=5$ beeinflusst den Grenzwert nicht; die Funktion ist bei 0 unstetig. Mit $f(0)=-1$ wäre sie dort stetig.

8-L2. Faktorisiere $3x^2-7x-20=(x-4)(3x+5)$. Für $x\ne0,4$ folgt

$$f(x)=\frac{3x+5}{x}=3+\frac5x.$$

Bei 4 liegt eine hebbare Lücke vor: $\lim_{x\to4}f(x)=3+5/4=17/4$. Bei 0 gilt links $-\infty$, rechts $+\infty$; es liegt eine Polstelle mit Polgerade $x=0$ vor. Für $x\to\pm\infty$ ist der Grenzwert 3, die waagerechte Asymptote also $y=3$. Nach Kürzen bleibt 4 aus dem ursprünglichen Definitionsbereich ausgeschlossen.

8-L3. Für $x\ne-2$ ist $(x^2-4)/(x+2)=x-2$. Daher ist der Grenzwert -4. Die stetige Fortsetzung setzt den fehlenden Wert auf -4.

8-L4. Nach Division durch $x$ erhält man $(9+1/x)/(6/x-3)\to9/(-3)=-3$ für beide Richtungen. Also $y=-3$ als waagerechte Asymptote.

Vorlesung 9 - Stetigkeitssätze und Differentialrechnung

Datum: 24.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL09-handout.pdf, 32 PDF-Seiten.

9.1 Stetigkeit überprüfen

Neben der Grenzwertdefinition sind Folgenstetigkeit (RU: непрерывность по последовательностям; EN: sequential continuity) und das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium gleichwertig. Für Stetigkeit lautet letzteres:

$$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\ |x-x_0|<\delta\Rightarrow|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\quad(x\in D).$$

Anders als beim allgemeinen Funktionsgrenzwert ist $x=x_0$ hier zugelassen.

Beispiel $p(x)=3x^2$: Für $x_n\to x_0$ liefern die Grenzwertsätze $3x_n^2\to3x_0^2$. Alternativ wähle $\delta=\min{1,\varepsilon/[3(1+2|x_0|)]}$. Dann ist $|x+x_0|<1+2|x_0|$ und $|3x^2-3x_0^2|=3|x-x_0||x+x_0|<\varepsilon$.

Polynome, $e^x$, Sinus und Kosinus sind auf $\mathbb R$ stetig; $\ln x$ auf $(0,\infty)$; $\sqrt x$ auf $[0,\infty)$; $1/x^n$ auf $\mathbb R\setminus{0}$; Tangens dort, wo $\cos x\ne0$. Summen, Produkte, Beträge, zulässige Quotienten und Verkettungen stetiger Funktionen bleiben stetig.

Bei stückweise definierten Funktionen prüft man die Anschlussbedingung (RU: условие согласования в точке соединения; EN: matching condition): Die beiden Grenzwerte und der eingesetzte Funktionswert müssen übereinstimmen.

9.2 Drei wichtige Sätze

Zwischenwertsatz (RU: теорема о промежуточном значении; EN: intermediate value theorem): Ist $f$ stetig auf $[a,b]$, nimmt sie jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an. Stetigkeit verhindert, dass ein Zwischenwert übersprungen wird.

Nullstellensatz von Bolzano (RU: теорема Больцано о нуле функции; EN: Bolzano's theorem): Wenn zusätzlich $f(a)f(b)<0$, gibt es eine Nullstelle in $(a,b)$. Der Satz garantiert Existenz, nicht Eindeutigkeit oder eine exakte Formel. Für $f(x)=x-\cos x$ gilt $f(0)=-1$, $f(\pi/2)=\pi/2>0$; deshalb hat $x=\cos x$ mindestens eine Lösung.

Satz von Weierstraß (RU: теорема Вейерштрасса об экстремумах; EN: extreme value theorem): Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten (RU: замкнутом и ограниченном; EN: closed and bounded) Intervall $[a,b]$ nimmt ein Minimum und ein Maximum an. Insbesondere ist sie beschränkt. Auf $(0,1]$ zeigt $1/x$, warum die Voraussetzung wichtig ist; auf $[0,\infty)$ reicht Abgeschlossenheit allein ebenfalls nicht.

Eine stetige bijektive Funktion auf einem Intervall hat eine stetige Umkehrfunktion. Die Intervallvoraussetzung ist wesentlich: Die Folienfunktion $f(x)=x$ auf $[1,2]$ und $f(x)=x-1$ auf $(3,4]$ ist stetig und bijektiv nach $[1,3]$, aber ihre Umkehrfunktion springt bei 2 von Werten nahe 2 zu Werten nahe 3.

9.3 Differenzierbarkeit

Der Differenzenquotient (RU: разностное отношение; EN: difference quotient)

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

ist die Steigung der Sekante (RU: секущая; EN: secant line) durch zwei Graphenpunkte. Sein endlicher Grenzwert ist die Ableitung (RU: производная; EN: derivative):

$$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h.$$

Existiert er, ist $f$ in $x_0$ differenzierbar (RU: дифференцируемая; EN: differentiable). Die Ableitung beschreibt die lokale Änderungsrate und Tangentensteigung. Für $x^2$ ergibt der Quotient $2x_0+h$, also $f'(x_0)=2x_0$.

Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit, weil $f(x)-f(x_0)$ das Produkt des gegen $f'(x_0)$ konvergierenden Quotienten und $x-x_0\to0$ ist. Die Umkehrung ist falsch: $|x|$ ist stetig, hat bei 0 aber links Steigung -1 und rechts +1.

9.4 Ableitungsregeln

Für $x^n$ ist die Ableitung $nx^{n-1}$. Negative ganzzahlige Potenzen verlangen $x\ne0$; beliebige reelle Potenzen werden hier auf $x>0$ betrachtet.

$$ (\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g',\qquad(fg)'=f'g+fg',$$ $$\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}\quad(g\ne0),\qquad (f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).$$

Die letzte Regel heißt Kettenregel (RU: правило дифференцирования сложной функции; EN: chain rule). Bei $[2x^2-3x]^5$ ist die äußere Ableitung $5[2x^2-3x]^4$ und die innere $4x-3$. Diese werden multipliziert. In der Produktregel werden zwei Summanden benötigt; in der Quotientenregel darf das Minuszeichen nicht verloren gehen.

9.5 Aufgaben aus den Folien

9-A1 - Stetigkeitsquiz, PDF-S. 10. Ist $f(x)=|x|$ bei 0 stetig? Begründen Sie.

9-A2 - Stückweise Funktion, PDF-S. 13. Es sei $f(x)=0$ für $x<0$, $3x$ für $0\le x\le1$, $x+3$ für $x>1$. Welche Aussage ist falsch? a) $\lim_{x\to0^+}f(x)=0$. b) $f$ ist bei 1 stetig. c) $\lim_{x\to1^-}f(x)=3$. d) $f$ ist bei 0 stetig.

9-A3 - Anschlussbedingung, PDF-S. 14. Für welches $\alpha$ ist $h(x)=x^2-1$ für $x<1$ und $h(x)=\alpha$ für $x\ge1$ auf $\mathbb R$ stetig?

9-A4 - Wurzel ableiten, PDF-S. 29. Berechnen Sie $(\sqrt x)'$ auf $(0,\infty)$ mit der Potenzregel.

9-A5 - Produkt und Quotient, PDF-S. 31. Bestimmen Sie die Ableitung von $2\sqrt x(x-7)/(4x^2)$.

9-A6 - Kettenregel, PDF-S. 32. Bestimmen Sie $\bigl((-x^3+2)^4\bigr)'$.

9.6 Lösungen

9-L1. Ja. Für $\delta=\varepsilon$ gilt aus $|x|<\delta$, dass $||x|-|0||=|x|<\varepsilon$. Stetigkeit bedeutet hier nicht Differenzierbarkeit.

9-L2. b) ist falsch: Links bei 1 beträgt der Grenzwert 3, rechts 4; $f(1)=3$. Bei 0 sind beide Grenzwerte und der Funktionswert gleich 0. Damit sind a), c), d) wahr.

9-L3. $\alpha=0$, denn $\lim_{x\to1^-}(x^2-1)=0$ und rechts sowie am Punkt ist der Wert $\alpha$.

9-L4. $\sqrt x=x^{1/2}$, also $(\sqrt x)'=\tfrac12x^{-1/2}=1/(2\sqrt x)$ für $x>0$.

9-L5. Der Bereich ist $x>0$. Vereinfache zuerst:

$$\frac{2\sqrt x(x-7)}{4x^2}=\frac12x^{-1/2}-\frac72x^{-3/2}.$$

Dann folgt $f'(x)=-\tfrac14x^{-3/2}+\tfrac{21}4x^{-5/2}=(21-x)/(4x^{5/2})$. Mit der Quotientenregel erhält man dasselbe Ergebnis.

9-L6. Äußere Ableitung und innere Ableitung ergeben $4(-x^3+2)^3(-3x^2)=-12x^2(2-x^3)^3$.

Vorlesung 10 - Ableitungen, Tangenten und Mittelwertsatz

Datum: 25.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL10-handout.pdf, 22 PDF-Seiten.

10.1 Elementare Ableitungen

$f(x)$	$f'(x)$	Bereich / Bedingung
$c$	0	$\mathbb R$
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$	für allgemeines $\alpha\in\mathbb R$: $x>0$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb R$
$\ln x$	$1/x$	$x>0$
$\sin x$	$\cos x$	$\mathbb R$
$\cos x$	$-\sin x$	$\mathbb R$
$a^x$	$(\ln a)a^x$	$a>0$, $x\in\mathbb R$
$\log_a x$	$1/(x\ln a)$	$a>0$, $a\ne1$, $x>0$
$\tan x$	$1/\cos^2x=1+\tan^2x$	$\cos x\ne0$
$\arctan x$	$1/(1+x^2)$	$\mathbb R$

Für $a=1$ ist $a^x$ konstant und die Formel liefert 0. Die Ableitung von $\sqrt x$ gilt für $x>0$, nicht als endliche Ableitung am Randpunkt 0.

10.2 Ableitung der Umkehrfunktion

Wenn $f$ auf einem Intervall stetig, streng monoton und in der Nähe von $x_0$ differenzierbar ist, mit $f'(x_0)\ne0$, gilt bei $y_0=f(x_0)$:

$$(f^{-1})'(y_0)=\frac1{f'(x_0)}=\frac1{f'(f^{-1}(y_0))}.$$

So lässt sich die inverse Ableitung berechnen, ohne eine explizite Formel für $f^{-1}$ zu kennen. Die Kettenregel für $f^{-1}(f(x))=x$ motiviert die Formel. Für $f(x)=x^2$ auf $[0,\infty)$ und $x_0=3$ gilt $y_0=9$ und $(f^{-1})'(9)=1/6$. Bei $x_0=0$ darf man die Formel nicht anwenden: Die inverse Wurzelfunktion hat dort keine endliche Rechtsableitung.

10.3 Tangenten und lokale Approximation

Die Tangente (RU: касательная; EN: tangent line) bei $x_0$ lautet:

$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

Sie geht durch den Graphenpunkt und besitzt dort dieselbe Steigung. Als lineare Approximation (RU: линейное приближение; EN: linear approximation) erfüllt sie

$$\frac{f(x)-t(x)}{|x-x_0|}\to0.$$

Der Fehler wird im Verhältnis zur Entfernung vom Ausgangspunkt klein. Als ergänzendes Rechenbeispiel: Für $f(x)=x^2$ bei $x_0=1$ ist $t(x)=2x-1$, und der Fehler ist $(x-1)^2$.

10.4 Mittelwertsatz und Folgerungen

Der Mittelwertsatz, MWS (RU: теорема Лагранжа о среднем значении; EN: mean value theorem) setzt Stetigkeit auf $[a,b]$ und Differenzierbarkeit auf $(a,b)$ voraus. Dann gibt es $\xi\in(a,b)$ mit

$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Mindestens eine Tangente hat also die Steigung der Sekante. Die alternative Form ist $f(x_0+h)=f(x_0)+h f'(x_0+\vartheta h)$ mit $\vartheta\in(0,1)$.

Folgerungen auf einem Intervall:

$f'=0$ überall $\Rightarrow f$ konstant.
$f'=g'$ überall $\Rightarrow f-g$ konstant.
$f'>0$ überall $\Rightarrow f$ streng wachsend; $f'<0$ streng fallend.
$f'\ge0$ überall $\Rightarrow f$ monoton wachsend; $f'\le0$ monoton fallend.

Die Intervallbedingung ist nötig: Eine auf zwei getrennten Intervallen jeweils konstante Funktion kann dort verschiedene Konstanten besitzen. Strenges Wachstum verlangt nicht umgekehrt eine überall positive Ableitung, wie $x^3$ mit $f'(0)=0$ zeigt.

Der Satz von Rolle (RU: теорема Ролля; EN: Rolle's theorem) ist der Spezialfall $f(a)=f(b)$: Dann existiert $\xi$ mit $f'(\xi)=0$. Für die Tangentenabweichung ergibt der MWS:

$$f(x)-t(x)=(x-x_0)\bigl(f'(\xi)-f'(x_0)\bigr)$$

mit $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$.

10.5 Regel von L'Hospital

Die Regel von L'Hospital (RU: правило Лопиталя; EN: L'Hospital's rule) behandelt Quotienten der unbestimmten Formen (RU: неопределённости; EN: indeterminate forms) $0/0$ oder $\infty/\infty$:

$$\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)},$$

sofern die Voraussetzungen erfüllt sind: Differenzierbarkeit in der betrachteten punktierten Umgebung, $g'(x)\ne0$ dort und Existenz des Grenzwertes des Ableitungsquotienten, gegebenenfalls unendlich. Einseitige und unendliche Annäherungen sind möglich. Die Folienformulierung wird hier um diese notwendigen Bedingungen präzisiert.

Man leitet Zähler und Nenner getrennt ab; dies ist keine Anwendung der Quotientenregel. Ein Produkt wie $x\ln x$ muss zuerst als Quotient geschrieben werden. Beispiele der Quelle: $\sin x/x\to1$ bei 0, $x^2/e^{x^2}\to0$ für $x\to\infty$.

10.6 Höhere Ableitungen

$f^{(0)}=f$, $f^{(k)}=(f^{(k-1)})'$. Die höhere Ableitung (RU: производная высшего порядка; EN: higher-order derivative) wird wiederholt gebildet. $C^k(I)$ bezeichnet die Funktionen mit stetigen Ableitungen bis Ordnung $k$; $C^0$ die stetigen und $C^\infty$ die beliebig oft differenzierbaren Funktionen.

Polynome, rationale Funktionen, Exponential-, Logarithmus- und trigonometrische Funktionen sind auf ihren jeweiligen offenen Definitionsbereichen glatt. $f(x)=x|x|$ liegt in $C^1(\mathbb R)$, denn $f'(x)=2|x|$ ist stetig; es ist bei 0 nicht zweimal differenzierbar. Für $e^{\alpha x}$ gilt $f^{(k)}(x)=\alpha^k e^{\alpha x}$.

10.7 Aufgaben aus den Folien

10-A1 - Hausaufgabe, PDF-S. 7. Leiten Sie $\tan x=\sin x/\cos x$ mit der Quotientenregel ab.

10-A2 - Inverse Ableitung, PDF-S. 10. Für $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$, $f(x)=xe^x$, dürfen Stetigkeit, strenge Monotonie und Differenzierbarkeit angenommen werden. a) Bestimmen Sie $f'$. b) Prüfen Sie $f'(3)\ne0$. c) Bestimmen Sie $(f^{-1})'(3e^3)$.

10-A3 - Beweis als Hausaufgabe, PDF-S. 15. Begründen Sie die vier Monotoniefolgerungen aus dem Vorzeichen von $f'$ mit dem MWS.

10-A4 - L'Hospital, PDF-S. 19. Berechnen Sie $\lim_{x\to0^+}x\ln x$ nach geeigneter Umformung.

10-A5 - Höhere Ableitungen, PDF-S. 22. Geben Sie für $f(x)=x^n$, $n\in\mathbb N$, eine allgemeine Formel für $f^{(k)}$ an.

10.8 Lösungen

10-L1. $(\tan x)'=(\cos^2x+\sin^2x)/\cos^2x=1/\cos^2x$. Verwendet wird die trigonometrische Identität $\sin^2x+\cos^2x=1$. In der Quelle wird diese an dieser Stelle unpräzise als „Eulersche Formel“ bezeichnet.

10-L2. a) $f'(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x$. b) $f'(3)=4e^3>0$. c) $f(3)=3e^3$, also $(f^{-1})'(3e^3)=1/(4e^3)$. Die Funktion ist tatsächlich nach $(0,\infty)$ surjektiv, da sie streng wächst und die Randgrenzwerte 0 und $+\infty$ hat.

10-L3. Für beliebige $x0$, besitzt die Differenz das Vorzeichen von $f'(\xi)$. Positiv bzw. negativ ergibt strenge Monotonie; nichtnegativ bzw. nichtpositiv ergibt die schwache Variante. Strenge Monotonie impliziert die Umkehrbarkeit auf die Bildmenge.

10-L4. Schreibe $x\ln x=\ln x/(1/x)$. Zähler und Nenner divergieren betragsmäßig gegen Unendlich; der Ableitungsquotient ist

$$\frac{1/x}{-1/x^2}=-x\to0.$$

Somit ist der gesuchte Grenzwert 0, mit Annäherung durch negative Werte.

10-L5. Für ganzzahliges $k\ge0$:

$$f^{(k)}(x)=\begin{cases}\dfrac{n!}{(n-k)!}x^{n-k},&0\le k\le n,\0,&k>n.\end{cases}$$

Jede Ableitung vermindert den Exponenten um 1; die Faktoren sind $n(n-1)\cdots(n-k+1)$. Bei $k=n$ bleibt $n!$, danach 0.

Vorlesung 11 - Extrema, Wendepunkte und Stammfunktionen

Datum: 28.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL11-prehandout.pdf, 41 PDF-Seiten. Die Datei ist ausdrücklich als „prehandout“ bezeichnet.

11.1 Lokale und globale Extrema

Ein globales Maximum (RU: глобальный максимум; EN: global maximum) in $x_0$ bedeutet $f(x)\le f(x_0)$ für alle $x\in D$. Ein globales Minimum bedeutet die umgekehrte Ungleichung. Ein lokales Extremum (RU: локальный экстремум; EN: local extremum) fordert den Vergleich nur für $x$ in einer genügend kleinen Umgebung von $x_0$, relativ zu $D$.

Die Extremstelle (RU: точка экстремума по аргументу; EN: location of an extremum) ist die Zahl $x_0$, der Extremwert (RU: экстремальное значение; EN: extremal value) ist $f(x_0)$ und der Extrempunkt (RU: точка экстремума на графике; EN: extremum point) ist $(x_0,f(x_0))$. Ein Maximum wird als Hochpunkt (RU: точка максимума; EN: maximum point), ein Minimum als Tiefpunkt (RU: точка минимума; EN: minimum point) bezeichnet.

Die Folien verwenden nichtstrikte Ungleichungen. Daher kann eine konstante Funktion an jedem Punkt zugleich ein lokales Maximum und Minimum haben. Global ist eine stärkere Anforderung als lokal.

11.2 Notwendige und hinreichende Bedingungen

Ist $x_0$ ein innerer Punkt eines Intervalls und $f$ dort differenzierbar, dann gilt:

$$\text{lokales Extremum in }x_0\Rightarrow f'(x_0)=0.$$

Diese notwendige Bedingung (RU: необходимое условие; EN: necessary condition) liefert Kandidaten. Beim lokalen Maximum ist der Differenzenquotient rechts nichtpositiv und links nichtnegativ. Wenn beide Seiten denselben Ableitungswert haben, muss dieser 0 sein. Die Umkehrung gilt nicht: $x^3$ hat $f'(0)=0$, aber kein Extremum. Randextrema können bei nichtverschwindender Ableitung auftreten, z. B. $f(x)=x$ auf $[0,1]$.

Die hinreichende Bedingung (RU: достаточное условие; EN: sufficient condition) mit der zweiten Ableitung ist:

$$f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0\Rightarrow\text{lokales Minimum},$$ $$f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0\Rightarrow\text{lokales Maximum}.$$

Bei $f''(x_0)=0$ ist keine Entscheidung möglich. Allgemeiner: Ist $f\in C^n$ und sind $f'(x_0),\ldots,f^{(n-1)}(x_0)$ gleich 0, aber $f^{(n)}(x_0)\ne0$, dann führt eine gerade Ordnung $n$ zu einem Extremum, mit Minimum bei positivem und Maximum bei negativem Wert. Eine ungerade Ordnung führt zu keinem Extremum. Beispiel $x^4$: Die erste nichtverschwindende Ableitung bei 0 ist die vierte, gleich 24; es liegt ein Minimum vor.

Das Vorzeichenwechselkriterium (RU: критерий смены знака; EN: sign-change test) von $f'$ entscheidet ebenfalls:

$f'$ wechselt von negativ zu positiv: Minimum.
$f'$ wechselt von positiv zu negativ: Maximum.
Keine solche Änderung: Der Test bestätigt kein striktes Extremum.

Die hinreichenden Tests erfassen nicht jedes nichtstrikte Extremum. Im Plateau-Beispiel der Folien ist $f(x)=2$ auf $[-2,2]$ und außerhalb $2-(x\pm2)^2$. Alle Plateaustellen besitzen ein globales Maximum, ohne dass dort überall ein strikter Vorzeichenwechsel vorliegt.

11.3 Vorgehen bei Extremwertaufgaben

Zuerst den Bereich festlegen, Ableitungen berechnen und $f'=0$ lösen. Die Kandidaten mit $f''$, höheren Ableitungen oder Vorzeichen prüfen; danach die Funktionswerte bestimmen. Für globale Extrema auf $[a,b]$ müssen auch $f(a),f(b)$ verglichen werden. Bei Funktionen, die nicht überall differenzierbar sind, gehören zusätzlich die entsprechenden inneren Stellen zu den Kandidaten.

Das Beispiel der Quelle

$$f(x)=\frac13x^3+\frac12x^2-2x-1$$

hat $f'(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)$ und $f''(x)=2x+1$. Bei $x=-2$ liegt ein lokales Maximum mit Wert $7/3$, bei $x=1$ ein lokales Minimum mit Wert $-13/6$. Auf ganz $\mathbb R$ sind sie nicht global, weil die kubische Funktion in beide Richtungen unbeschränkt ist.

11.4 Wende- und Sattelpunkte

Eine Wendestelle (RU: точка перегиба по аргументу; EN: inflection location) ist in der Folienbeschreibung eine Stelle, an der $f'$ ein lokales Extremum besitzt; sie soll einen Wechsel des Krümmungsverhaltens (RU: характера выпуклости; EN: concavity) erfassen. Der Graphenpunkt heißt Wendepunkt (RU: точка перегиба; EN: inflection point). Für die Berechnung wird ein tatsächlicher Krümmungswechsel geprüft; konstante Abschnitte von $f'$ allein werden nicht als solche Wechsel verstanden.

Für innere Punkte einer zweimal differenzierbaren Funktion ist $f''(x_0)=0$ notwendig. Hinreichend ist unter geeigneter lokaler Differenzierbarkeit $f''(x_0)=0$, $f'''(x_0)\ne0$. Alternativ prüft man den Vorzeichenwechsel von $f''$. Bei $f''>0$ ist der Graph linksgekrümmt (RU: выпуклый вниз; EN: concave up / convex), bei $f''<0$ rechtsgekrümmt (RU: выпуклый вверх; EN: concave down).

Im kubischen Beispiel ist $f''=2x+1$, also $x_W=-1/2$ und $f'''=2\ne0$. Der Wendepunkt ist $(-1/2,1/12)$; $f'(-1/2)=-9/4$, die Tangente ist dort nicht waagerecht.

Ein Sattelpunkt (RU: стационарная точка перегиба; EN: stationary inflection point) ist ein Wendepunkt mit $f'(x_0)=0$. $x^3$ hat bei $(0,0)$ einen Sattelpunkt. $x^4$ besitzt dort keinen Wendepunkt, weil $f''=12x^2$ sein Vorzeichen nicht wechselt. Die Gleichungen $f'=f''=0$ allein reichen deshalb nicht aus.

11.5 Stammfunktionen und die Kurskonvention „fast überall“

Eine Stammfunktion (RU: первообразная; EN: antiderivative) $F$ zu $f$ erfüllt im üblichen differenzierbaren Fall $F'=f$. Die Quelle erweitert den Begriff: $F$ ist auf dem betrachteten Intervall stetig und erfüllt $F'(x)=f(x)$ bis auf endlich viele Ausnahmestellen. Die Formulierung fast überall (RU: почти всюду; EN: almost everywhere) bedeutet in diesem Vorkurs genau „mit höchstens endlich vielen Ausnahmen“. In weiterführender Maßtheorie hat sie eine allgemeinere Bedeutung.

Beispiel der Quelle: Für $f(x)=1$ bei $x>0$, $f(x)=-1$ bei $x<0$ und $f(0)=5$ ist $F(x)=|x|$ im erweiterten Kurssinn eine Stammfunktion. Am Punkt 0 ist $F$ nicht differenzierbar; dies ist die zugelassene Ausnahme.

Ist $F$ eine Stammfunktion, so ist auch $F+C$ eine, denn eine Konstante verschwindet beim Ableiten. Zwei solche Stammfunktionen auf einem Intervall unterscheiden sich um eine Konstante. Im Fall endlich vieler Ausnahmen ist ihre Differenz auf den Teilintervallen konstant; die Stetigkeit verbindet die Konstanten an den Ausnahmestellen.

Das unbestimmte Integral (RU: неопределённый интеграл; EN: indefinite integral) bezeichnet die Familie aller Stammfunktionen:

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C,\qquad C\in\mathbb R.$$

Es ist keine einzelne Zahl. Die Integrationskonstante (RU: постоянная интегрирования; EN: integration constant) gehört zur allgemeinen Lösung.

11.6 Stammfunktionentabelle und Techniken

Integrand $f(x)$	Eine Stammfunktion $F(x)$	Bedingung
$x^n$	$x^{n+1}/(n+1)$	$n\in\mathbb N_0$
$x^\alpha$	$x^{\alpha+1}/(\alpha+1)$	$x>0$, $\alpha\ne-1$
$1/x$	$\ln	x
$e^x$	$e^x$	$\mathbb R$
$\ln x$	$x\ln x-x$	$x>0$
$\sin x$	$-\cos x$	$\mathbb R$
$\cos x$	$\sin x$	$\mathbb R$
$1/(1+x^2)$	$\arctan x$	$\mathbb R$

Linearität (RU: линейность; EN: linearity): $\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g$. Beispielsweise $\int(4x+7e^x)\,dx=2x^2+7e^x+C$.

Partielle Integration (RU: интегрирование по частям; EN: integration by parts): Die Produktregel rückwärts:

$$\int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx.$$

Für $\ln x$ setzt man $f=\ln x$, $g'=1$ und erhält $x\ln x-\int1\,dx=x\ln x-x+C$.

Substitution (RU: замена переменной; EN: substitution): Die Kettenregel rückwärts:

$$\int f(h(x))h'(x)\,dx=F(h(x))+C\quad(F'=f).$$

Für $\int2x/(1+x^2)\,dx$ setze $u=x^2$ und $du=2x\,dx$; das Ergebnis ist $\ln(1+x^2)+C$. Bei einer linearen inneren Funktion gilt $\int f(ax+b)\,dx=F(ax+b)/a+C$ für $a\ne0$. So ergibt $\int(2x+7)^2\,dx=(2x+7)^3/6+C$.

Jede gefundene Stammfunktion kann durch Ableiten geprüft werden. Die Partialbruchzerlegung (RU: разложение на простые дроби; EN: partial fraction decomposition) wird hier nur angekündigt und in Vorlesung 12 behandelt.

11.7 Aufgabe aus den Folien

11-A1 - Stammfunktion, PDF-S. 34. Bestimmen Sie eine Stammfunktion zu $f(x)=\cos(3x)$.

Die weiteren konkreten Funktionen dieser Vorlesung sind in der Quelle Beispiele und Veranschaulichungen, keine gesondert gestellten Übungsaufgaben; ihre Rechnungen stehen im Lernstoff oben.

11.8 Lösung

11-L1. Eine Stammfunktion ist $F(x)=\tfrac13\sin(3x)$. Die Probe mit der Kettenregel liefert $F'(x)=\tfrac13\cdot3\cos(3x)=\cos(3x)$. Allgemein lautet das unbestimmte Integral $\tfrac13\sin(3x)+C$.

Vorlesung 12 - Bestimmte Integrale und Integrationstechniken

Datum: 29.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL12-handout.pdf, 21 PDF-Seiten.

12.1 Wiederholung der Kurvendiskussion

Die Kurvendiskussion (RU: исследование функции; EN: curve analysis) verbindet die bisherigen Themen: Definitionsbereich, Symmetrie, Nullstellen, Grenzverhalten, erste Ableitung für Monotonie und Extrema, zweite und dritte Ableitung für Krümmung und Wendepunkte. $f'=0$ bzw. $f''=0$ liefern nur Kandidaten. Bei verschwindender zweiter bzw. dritter Ableitung entscheidet man mit anderen Kriterien weiter.

12.2 Partialbruchzerlegung

Eine rationale Funktion ist ein Quotient $p(x)/q(x)$ aus Polynomen. Für die Zerlegung muss der Grad des Zählers kleiner als der des Nenners sein; andernfalls beginnt man mit Polynomdivision (RU: деление многочленов; EN: polynomial division).

Für einfache reelle Nullstellen $x_1,\ldots,x_k$ des Nenners verwendet man

$$\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{A_1}{x-x_1}+\cdots+\frac{A_k}{x-x_k}.$$

Bei einer $m$-fachen Nullstelle $r$ müssen alle Potenzen auftreten:

$$\frac{B_1}{x-r}+\frac{B_2}{(x-r)^2}+\cdots+\frac{B_m}{(x-r)^m}.$$

Nach Multiplikation mit dem gemeinsamen Nenner gewinnt man die Koeffizienten durch Einsetzen geeigneter Werte oder Koeffizientenvergleich (RU: сравнение коэффициентов; EN: coefficient comparison). Die Folien behandeln diese reellen Linearfaktoren; irreduzible quadratische Faktoren werden dort nicht ausgearbeitet.

12.3 Vollständig gerechnetes Folienbeispiel

Für $\int(x^3-8x-1)/(x^2+2x-3)\,dx$ ergibt die Polynomdivision:

$$\frac{x^3-8x-1}{x^2+2x-3}=x-2-\frac{x+7}{x^2+2x-3}.$$

Der Nenner ist $(x+3)(x-1)$, mit Nullstellen -3 und 1. Der Ansatz

$$\frac{x+7}{(x+3)(x-1)}=\frac A{x+3}+\frac B{x-1}$$

liefert $x+7=(A+B)x-A+3B$, also $A+B=1$, $-A+3B=7$. Daher $B=2$, $A=-1$. Insgesamt:

$$\frac{x^3-8x-1}{x^2+2x-3}=x-2+\frac1{x+3}-\frac2{x-1},$$ $$\int\frac{x^3-8x-1}{x^2+2x-3}\,dx=\frac{x^2}2-2x+\ln|x+3|-2\ln|x-1|+C.$$

Die Formel gilt jeweils auf Intervallen ohne -3 und 1. Auf getrennten Teilintervallen können unterschiedliche Integrationskonstanten gewählt werden.

12.4 Bestimmtes Integral

Für eine passende Stammfunktion $F$ definiert die Quelle das bestimmte Integral (RU: определённый интеграл; EN: definite integral) durch

$$\int_a^b f(x)\,dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a).$$

Die Integrationsgrenzen (RU: пределы интегрирования; EN: integration bounds) sind $a,b$. Das Ergebnis ist eine Zahl. Die Konstante fällt weg: $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.

Als erläuternde geometrische Interpretation entspricht das Integral für $a<b$ einer vorzeichenbehafteten Fläche: Anteile oberhalb der Achse werden positiv, unterhalb negativ gezählt. Eine geometrische Gesamtfläche würde mit $\int_a^b|f(x)|\,dx$ berechnet. Die Quelle entwickelt hier keine separate vollständige Konstruktion des Riemann- oder Regelintegrals, sondern arbeitet mit Stammfunktionen.

12.5 Regeln für bestimmte Integrale

Linearität:

$$\int_a^b(\alpha f+\beta g)\,dx=\alpha\int_a^b f\,dx+\beta\int_a^b g\,dx.$$

Das Folienbeispiel muss rechnerisch korrigiert werden:

$$\int_0^1(3e^x-2x)\,dx=[3e^x-x^2]_0^1=3e-4.$$

Die Folie nennt $3e-5$; dort wurde $\int_0^1x\,dx=1/2$ fälschlich als 1 ausgewertet.

Intervalladditivität (RU: аддитивность по промежутку; EN: interval additivity):

$$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f\quad(a\le c\le b),\qquad \int_b^a f=-\int_a^b f,\qquad\int_a^a f=0.$$

Partielle Integration: Für ausreichend reguläre Funktionen, z. B. $f,g\in C^1$, gilt

$$\int_a^b fg'\,dx=[fg]_a^b-\int_a^b f'g\,dx.$$

Das Beispiel $\int_0^1xe^{2x}\,dx$ ergibt mit $f=x$, $g'=e^{2x}$:

$$\left[\frac{x}{2}e^{2x}\right]_0^1-\frac12\int_0^1e^{2x}\,dx =\frac12e^2-\frac14(e^2-1)=\frac{e^2+1}4.$$

12.6 Zwei Substitutionstypen

Typ 1: $u=g(x)$. Der Integrand (RU: подынтегральная функция; EN: integrand) ist die Funktion, die integriert wird. Mit passenden stetigen Integranden und differenzierbaren inneren Funktionen:

$$\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx=\int_{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du.$$

Die Grenzen werden mittransformiert. Beim Beispiel $\int_0^2x\cos(x^2)\,dx$ gilt $u=x^2$, $du=2x\,dx$, also $x\,dx=du/2$. Die neuen Grenzen sind 0 und 4; das Ergebnis ist $\tfrac12[\sin u]_0^4=\tfrac12\sin4$.

Typ 2: $x=h(u)$. Für eine passende umkehrbare, differenzierbare Funktion $h$:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_{h^{-1}(a)}^{h^{-1}(b)}f(h(u))h'(u)\,du.$$

Das Beispiel $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ verwendet $x=\sin u$ auf $[0,\pi/2]$. Dort ist $\cos u\ge0$; daher $\sqrt{1-\sin^2u}=|\cos u|=\cos u$. Mit $dx=\cos u\,du$ wird das Integral zu $\int_0^{\pi/2}\cos^2u\,du=\pi/4$.

Bei einer Substitution darf man weder den zusätzlichen Ableitungsfaktor noch die neuen Grenzen vergessen. Alte Grenzen werden nur verwendet, wenn zuvor vollständig zur alten Variablen zurückgekehrt wird.

12.7 Aufgabe aus den Folien

12-A1 - Hausübung, PDF-S. 17. Leiten Sie mit partieller Integration die Formel

$$\int_a^b\cos^2x\,dx=\frac12\left([\sin x\cos x]_a^b+b-a\right)$$

her. Hinweis: $\sin^2x+\cos^2x=1$.

Die Partialbruchrechnung und die beiden Substitutionen sind in der Quelle bereits gerechnete Beispiele; ihre vollständigen Rechnungen stehen oben.

12.8 Lösung

12-L1. Setze $I=\int_a^b\cos^2x\,dx$ und wähle bei partieller Integration $f=\cos x$, $g'=\cos x$, also $f'=-\sin x$, $g=\sin x$:

$$I=[\sin x\cos x]_a^b+\int_a^b\sin^2x\,dx.$$

Mit $\sin^2x=1-\cos^2x$ folgt $I=[\sin x\cos x]_a^b+(b-a)-I$. Daher $2I=[\sin x\cos x]_a^b+b-a$ und die verlangte Formel. Für $a=0,b=\pi/2$ ist der Randterm 0; dies bestätigt $I=\pi/4$ im Viertelkreisbeispiel.

Vorlesung 13 - Vektorräume, Vektoren und Normen

Datum: 30.09.2026. Quelle: 2026_MVK-VL13-handout.pdf, 29 PDF-Seiten.

13.1 Der Begriff Vektorraum

Ein reeller Vektorraum (RU: вещественное векторное пространство; EN: real vector space) ist eine Menge $V$ mit Addition von Elementen und Multiplikation mit reellen Skalaren (RU: скаляры; EN: scalars). Die Elemente heißen Vektoren (RU: векторы; EN: vectors). Es müssen die folgenden Regeln für $u,v,w\in V$, $\lambda,\mu\in\mathbb R$ gelten:

Abgeschlossenheit (RU: замкнутость относительно операции; EN: closure): $v+w\in V$ und $\lambda v\in V$.
Addition ist assoziativ und kommutativ: $(u+v)+w=u+(v+w)$, $v+w=w+v$.
Ein Nullvektor (RU: нулевой вектор; EN: zero vector) $0$ erfüllt $v+0=v$.
Jeder Vektor besitzt einen Gegenvektor (RU: противоположный вектор; EN: additive inverse) $-v$ mit $v+(-v)=0$.
$1v=v$; der neutrale Skalar ist die reelle Zahl 1.
$\lambda(\mu v)=(\lambda\mu)v$.
Distributivität (RU: дистрибутивность; EN: distributivity): $\lambda(v+w)=\lambda v+\lambda w$ und $(\lambda+\mu)v=\lambda v+\mu v$.

Vektoren müssen keine geometrischen Pfeile sein. Auch Polynome, Funktionen und Folgen bilden mit geeigneten Operationen Vektorräume. Beispielsweise lässt sich $p(x)=x^3-2x^2+4$ bei festgelegter Reihenfolge der Potenzen durch den Koeffizientenvektor $(1,-2,0,4)^T$ darstellen.

13.2 Vektoren im $\mathbb R^n$

$\mathbb R^n$ ist das $n$-fache kartesische Produkt von $\mathbb R$. Ein Spaltenvektor (RU: вектор-столбец; EN: column vector) lautet

$$x=\begin{pmatrix}x_1\\vdots\x_n\end{pmatrix}=(x_1,\ldots,x_n)^T.$$

Die Zahlen $x_i$ heißen Komponenten (RU: компоненты; EN: components). Addition und skalare Multiplikation geschehen komponentenweise:

$$x+y=(x_1+y_1,\ldots,x_n+y_n)^T,\qquad\lambda x=(\lambda x_1,\ldots,\lambda x_n)^T.$$

Addieren und Subtrahieren erfordern dieselbe Dimension. Ein Vektor ist kein reeller Skalar; die Vektorraumoperationen definieren weder eine allgemeine Division durch einen Vektor noch ein allgemeines Produkt zweier Vektoren.

13.3 Geometrische Interpretation

Ein Ortsvektor (RU: радиус-вектор; EN: position vector) beschreibt die Lage eines Punktes relativ zum Ursprung. Ein freier Vektor (RU: свободный вектор; EN: free vector) beschreibt eine Verschiebung, unabhängig davon, an welcher Stelle der Pfeil eingezeichnet wird. Für zwei Punkte gilt $\overrightarrow{AB}=B-A$.

Die Addition kann durch Aneinanderlegen der Pfeile oder die Diagonale ihres Parallelogramms dargestellt werden. Multiplikation mit $\lambda>0$ erhält die Richtung, mit $\lambda<0$ kehrt sie sie um; die Länge wird mit $|\lambda|$ multipliziert. Bei $\lambda=0$ entsteht der Nullvektor.

Nach der Terminologie der Folien heißen zwei nichtverschwindende Vektoren parallel (RU: сонаправленные; EN: parallel, same direction) bei $x=\alpha y$, $\alpha>0$, und antiparallel (RU: противоположно направленные; EN: antiparallel) bei $x=-\alpha y$, $\alpha>0$. In anderen Texten umfasst „parallel“ oft beide Fälle. Der Nullvektor hat keine Richtung; die algebraischen Gleichungen können dennoch mit ihm betrachtet werden.

Beispiel: $(2,-4,6)^T=2(1,-2,3)^T$ und $(-3,6,-9)^T=-3(1,-2,3)^T$.

13.4 Lineare Unabhängigkeit

Die Vektoren $x_1,\ldots,x_k$ sind linear unabhängig (RU: линейно независимые; EN: linearly independent), wenn

$$\alpha_1x_1+\cdots+\alpha_kx_k=0$$

nur die triviale Lösung (RU: тривиальное решение; EN: trivial solution) $\alpha_1=\cdots=\alpha_k=0$ besitzt. Andernfalls sind sie linear abhängig (RU: линейно зависимые; EN: linearly dependent). Es müssen nicht alle Koeffizienten einer nichttrivialen Beziehung ungleich 0 sein; mindestens einer genügt.

Im Folienbeispiel gilt $(2,-1,2)^T-2(1,-1,0)^T-(0,1,2)^T=0$. Daher sind diese drei Vektoren abhängig. Zur Prüfung übersetzt man die Vektorgleichung in ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten.

13.5 Norm und Normierung

Eine Norm (RU: норма; EN: norm) ordnet einem Vektor eine nichtnegative Größe zu und erfüllt:

$$|x|\ge0,\quad|x|=0\iff x=0,\quad |\lambda x|=|\lambda||x|,\quad|x+y|\le|x|+|y|.$$

Die Eigenschaften heißen positive Definitheit (RU: положительная определённость; EN: positive definiteness), Homogenität (RU: однородность; EN: homogeneity) und Dreiecksungleichung (RU: неравенство треугольника; EN: triangle inequality).

Die euklidische Norm (RU: евклидова норма; EN: Euclidean norm) ist die geometrische Länge:

$$|x|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}.$$

Sie folgt im $\mathbb R^2$ aus Pythagoras und im $\mathbb R^3$ aus zweimaliger Anwendung. Für $(\sqrt3,2,-3)^T$ ergibt sich $\sqrt{3+4+9}=4$.

Normieren (RU: нормировать; EN: normalize) heißt für $x\ne0$:

$$x_0=\frac{x}{|x|},\qquad|x_0|=1.$$

$x_0$ zeigt in dieselbe Richtung. Der Nullvektor kann so nicht normiert werden. Die Entfernung (RU: расстояние; EN: distance) zwischen zwei Punkten wird durch $|B-A|$ beschrieben.

13.6 Aufgaben aus den Folien

13-A1 - Beweisübung, PDF-S. 12. Zeigen Sie, dass $\mathbb R^n$ mit den komponentenweisen Operationen ein reeller Vektorraum ist.

13-A2 - Rechenoperationen, PDF-S. 13. Gegeben sind $x=(1,2)^T$, $y=(-3,1)^T$, $v=(-5,0,3)^T$, $w=(7,-4,-1)^T$. Welche Operationen sind erlaubt? Berechnen Sie, falls möglich: a) $3v$; b) $x+y$; c) $y+2x$; d) $x\cdot w$; e) $v-y$; f) $1/y$.

13-A3 - Normeigenschaften, PDF-S. 27. a) Zeigen Sie $|x|=0\Leftrightarrow x=0$. b) Beweisen Sie die Dreiecksungleichung für die euklidische Norm. Die Homogenität ist auf der Folie bereits vorgerechnet.

13.7 Lösungen

13-L1. Summe und Skalarvielfache haben wieder $n$ reelle Komponenten: Abgeschlossenheit. Für jede Komponente gelten die Rechengesetze in $\mathbb R$, daher auch Assoziativität und Kommutativität der Vektoraddition sowie die beiden Distributivgesetze. Der Vektor $(0,\ldots,0)^T$ ist neutral, $(-x_1,\ldots,-x_n)^T$ ist invers zu $x$. Komponentenweise gilt $1x_i=x_i$ und $\lambda(\mu x_i)=(\lambda\mu)x_i$. Damit sind alle Axiome erfüllt.

13-L2. a) $3v=(-15,0,9)^T$. b) $x+y=(-2,3)^T$. c) $y+2x=(-1,5)^T$. d) Nicht als Vektorraumoperation definiert; außerdem sind die Dimensionen 2 und 3 verschieden. e) Nicht definiert, ebenfalls verschiedene Dimensionen. f) Eine Division durch einen Vektor wurde nicht definiert.

13-L3. a) $|x|=0$ bedeutet $\sum_i x_i^2=0$. Da jeder Summand nichtnegativ ist, müssen alle $x_i=0$ sein. Umgekehrt hat der Nullvektor offensichtlich Norm 0.

b) Verwende das Standard-Skalarprodukt $\langle x,y\rangle=\sum_i x_iy_i$, das in Vorlesung 14 ausdrücklich behandelt wird. Zunächst beweist man die Cauchy-Schwarz-Ungleichung unabhängig von der Dreiecksungleichung: Für $y\ne0$ ist

$$0\le\left|x-\frac{\langle x,y\rangle}{|y|^2}y\right|^2 =|x|^2-\frac{\langle x,y\rangle^2}{|y|^2}.$$

Daher $|\langle x,y\rangle|\le|x||y|$; bei $y=0$ gilt dies sofort. Nun

$$|x+y|^2=|x|^2+2\langle x,y\rangle+|y|^2 \le(|x|+|y|)^2.$$

Da beide Seiten nichtnegativ sind, darf die Wurzel gezogen werden. So folgt $|x+y|\le|x|+|y|$.

Vorlesung 14 - Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Matrizen

Datum: 01.10.2026. Quelle: 2026_MVK-VL14-handout.pdf, 49 PDF-Seiten. Skalarprodukt und Kreuzprodukt stehen am Anfang unter „Wiederholung“; sie werden hier erläutert, weil sie zum Inhalt dieser Datei gehören.

14.1 Skalarprodukt und Winkel

Das Skalarprodukt (RU: скалярное произведение; EN: dot product / inner product) auf $\mathbb R^n$ ist

$$\langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^{n}x_iy_i.$$

Das Ergebnis ist eine Zahl. Es ist symmetrisch und in beiden Argumenten linear. Außerdem $\langle x,x\rangle=|x|^2\ge0$, mit Gleichheit nur für $x=0$.

Für nichtverschwindende Vektoren und ihren Winkel $\varphi\in[0,\pi]$ gilt

$$\langle x,y\rangle=|x||y|\cos\varphi,\qquad \varphi=\arccos\frac{\langle x,y\rangle}{|x||y|}.$$

Orthogonal (RU: ортогональный, перпендикулярный; EN: orthogonal) bedeutet $\langle x,y\rangle=0$. Bei zwei nichtverschwindenden Vektoren entspricht dies einem rechten Winkel. Der Nullvektor ist algebraisch orthogonal zu jedem Vektor, besitzt aber keinen Winkel.

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (RU: неравенство Коши-Шварца; EN: Cauchy-Schwarz inequality) ist $|\langle x,y\rangle|\le|x||y|$. Die Polarisationsformel (RU: поляризационная формула; EN: polarization identity) lautet

$$\langle x,y\rangle=\frac14\left(|x+y|^2-|x-y|^2\right).$$

14.2 Kreuzprodukt im $\mathbb R^3$

Das Kreuzprodukt (RU: векторное произведение; EN: cross product) ergibt einen Vektor:

$$x\times y=\begin{pmatrix}x_2y_3-x_3y_2\x_3y_1-x_1y_3\x_1y_2-x_2y_1\end{pmatrix}.$$

Es steht senkrecht auf beiden Faktoren, und $x,y,x\times y$ bilden bei unabhängigen $x,y$ ein Rechtssystem (RU: правая система; EN: right-handed system). Es gelten $x\times y=-(y\times x)$, Linearität in jedem Argument und Skalarkompatibilität. Das Produkt ist also antikommutativ.

$$|x\times y|=|x||y|\sin\varphi.$$

Die Länge entspricht der Fläche des aufgespannten Parallelogramms. Sie verschwindet bei linear abhängigen Vektoren. Außerdem:

$$|x\times y|^2=|x|^2|y|^2-\langle x,y\rangle^2.$$

Skalarmultiplikation, Skalarprodukt und Kreuzprodukt sind drei verschiedene Operationen mit unterschiedlichen Ergebnistypen.

14.3 Standard-Einheitsvektoren

Der $i$-te Einheitsvektor (RU: стандартный единичный вектор; EN: standard unit vector) $e_i$ besitzt an Position $i$ eine 1, sonst Nullen. Die $n$ Standardvektoren sind orthonormal:

$$\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}=\begin{cases}1,&i=j,\0,&i\ne j.\end{cases}$$

Jeder Vektor hat die Darstellung $x=\sum_i x_ie_i$; seine Komponenten werden durch $\langle x,e_j\rangle=x_j$ ausgelesen. Nicht jeder normierte Vektor ist einer dieser Standardvektoren.

14.4 Matrizen: Form und Operationen

Eine Matrix (RU: матрица; EN: matrix) $A\in\mathbb R^{m\times n}$ hat $m$ Zeilen (RU: строки; EN: rows) und $n$ Spalten (RU: столбцы; EN: columns). Beim Eintrag (RU: элемент матрицы; EN: entry) $a_{ij}$ ist $i$ der Zeilenindex und $j$ der Spaltenindex. Eine Matrix mit $m=n$ heißt quadratisch. Ein Spaltenvektor ist eine $m\times1$-Matrix, ein Zeilenvektor eine $1\times n$-Matrix.

Für gleiche Dimensionen gelten $(A+B){ij}=a$ und $(\lambda A)}+b_{ij{ij}=\lambda a$ einen Vektorraum. Die }$. Damit bildet $\mathbb R^{m\times nNullmatrix (RU: нулевая матрица; EN: zero matrix) ist neutral zur Addition.

Die Transponierte (RU: транспонированная матрица; EN: transpose) $A^T\in\mathbb R^{n\times m}$ tauscht Zeilen und Spalten: $(A^T){ij}=a$. Es gelten $(A^T)^T=A$, $(A+B)^T=A^T+B^T$, $(\lambda A)^T=\lambda A^T$.

Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch (RU: симметричная; EN: symmetric), wenn $A^T=A$. Eine Diagonalmatrix (RU: диагональная матрица; EN: diagonal matrix) besitzt außerhalb der Hauptdiagonale nur Nullen und ist symmetrisch. Schreibweise: $\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_n)$.

14.5 Matrizenmultiplikation

Für $A\in\mathbb R^{m\times n}$ und $B\in\mathbb R^{n\times k}$ ist $AB\in\mathbb R^{m\times k}$ mit

$$(AB){ij}=\sum.$$}^{n}a_{is}b_{sj

Die inneren Dimensionen müssen gleich sein. Man multipliziert die $i$-te Zeile von $A$ mit der $j$-ten Spalte von $B$ und addiert die Produkte. Dies ist keine komponentenweise Multiplikation.

Beispiel der Quelle:

$$\begin{pmatrix}2&4\1&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\2&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6&4\-7&-3\end{pmatrix}.$$

Matrizenmultiplikation ist assoziativ und distributiv, aber im Allgemeinen nicht kommutativ. Es kann sogar nur eine der Reihenfolgen definiert sein. Aus $AB=0$ folgt nicht $A=0$ oder $B=0$.

Transposition kehrt die Produktreihenfolge um: $(AB)^T=B^TA^T$. Bei einem Matrix-Vektor-Produkt ist $Ax\in\mathbb R^m$. Für Standardvektoren liest $Ae_j$ die $j$-te Spalte aus, $e_i^TA$ die $i$-te Zeile und $e_i^TAe_j$ den Eintrag $a_{ij}$, jeweils mit passenden Dimensionen.

14.6 Einheitsmatrix und inverse Matrix

Die Einheitsmatrix (RU: единичная матрица; EN: identity matrix) $E_n$ hat auf der Hauptdiagonale Einsen und sonst Nullen. Für $A\in\mathbb R^{m\times n}$ gilt $AE_n=A=E_mA$.

Eine quadratische Matrix ist invertierbar / regulär (RU: обратимая / невырожденная; EN: invertible / nonsingular), wenn es $A^{-1}$ gibt mit

$$AA^{-1}=A^{-1}A=E_n.$$

Die inverse Matrix (RU: обратная матрица; EN: inverse matrix) ist eindeutig: Sind $B,C$ Inverse, dann $B=B(AC)=(BA)C=C$. Es gelten $(A^{-1})^{-1}=A$ und $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ für invertierbare Matrizen.

Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten linear unabhängig sind, äquivalent dazu, dass $Ax=0$ nur $x=0$ besitzt. Determinanten (RU: определители; EN: determinants) werden am Ende als weitere Charakterisierung angekündigt, in diesen Folien jedoch nicht entwickelt.

14.7 Gauß-Jordan-Verfahren

Der Gauß-Jordan-Algorithmus (RU: метод Гаусса-Жордана; EN: Gauss-Jordan elimination) berechnet die Inverse durch

$$[A\mid E_n]\longrightarrow[E_n\mid A^{-1}].$$

Jede Zeilenumformung (RU: элементарное преобразование строк; EN: elementary row operation) wird auf die ganze erweiterte Matrix angewendet. Erlaubt sind Zeilentausch, Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl ungleich 0 und Addition eines Vielfachen einer anderen Zeile. Wenn sich links nicht die Einheitsmatrix herstellen lässt, ist $A$ nicht invertierbar.

Bei $A=\begin{pmatrix}1&2\1&1\end{pmatrix}$: $R_2\gets R_2-R_1$, dann $R_2\gets-R_2$, dann $R_1\gets R_1-2R_2$. Rechts entsteht $\begin{pmatrix}-1&2\1&-1\end{pmatrix}$. Durch Multiplikation mit $A$ lässt sich das Ergebnis prüfen.

14.8 Aufgaben aus den Folien

14-A1 - Nachrechnen, PDF-S. 8. Beweisen Sie $\langle e_i,e_j\rangle=\delta_{ij}$.

14-A2 - Transposition, PDF-S. 26. Transponieren Sie und geben Sie die neuen Dimensionen an:

$$A=\begin{pmatrix}1&4\-3&5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}7&2&1\-3&5&9\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}2&-4\1&0\-1&2\end{pmatrix}.$$

14-A3 - Beweisübung, PDF-S. 27. Für symmetrische $A,B$ und $\lambda\in\mathbb R$ zeigen Sie: $A^T$, $\lambda A$ und $A+B$ sind symmetrisch.

14-A4 - Symmetriequiz, PDF-S. 28. Welche Matrizen sind symmetrisch?

$$A=\begin{pmatrix}1&-1&0\3&-1&3\-2&0&-1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}27&-1&-2\-1&-9&3\-2&3&12\end{pmatrix},\quad C=B^T+B,$$ $$D=\begin{pmatrix}27&3&0&1\3&-9&-1&0\0&1&12&0\end{pmatrix}.$$

14-A5 - Dimensionen, PDF-S. 31. Für $A=\begin{pmatrix}1&3&-2\2&0&4\end{pmatrix}$ und $B=\begin{pmatrix}2&5&0\-1&2&1\0&3&-1\end{pmatrix}$ entscheiden Sie, ob $AB$, $AA$, $BA$, $BB$ definiert sind.

14-A6 - Produktreihenfolge, PDF-S. 32. Berechnen Sie $\begin{pmatrix}-1&0\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&4\1&-3\end{pmatrix}$ und vergleichen Sie mit dem Beispiel in Abschnitt 14.5.

14-A7 - Nullprodukt, PDF-S. 34. Finden Sie zwei von der Nullmatrix verschiedene Matrizen $A,B$ mit $AB=0$.

14-A8 - Zeile und Spalte, PDF-S. 37. Für $x=(1,2)^T$ und $y=(-3,4)$ berechnen Sie $xy$ und $yx$ und nennen Sie die Dimensionen.

14-A9 - Inverse, PDF-S. 47. Berechnen Sie die inverse Matrix zu

$$A=\begin{pmatrix}-1&1&0\5&-2&-1\-2&0&1\end{pmatrix}.$$

14.9 Lösungen

14-L1. Im Skalarprodukt $\sum_s(e_i)_s(e_j)_s$ gibt es nur für $i=j$ eine Position mit beiden Einträgen 1. Dann ist die Summe 1. Bei $i\ne j$ ist jeder Produktterm 0.

14-L2.

$$A^T=\begin{pmatrix}1&-3\4&5\end{pmatrix}\in\mathbb R^{2\times2},\quad B^T=\begin{pmatrix}7&-3\2&5\1&9\end{pmatrix}\in\mathbb R^{3\times2},$$ $$C^T=\begin{pmatrix}2&1&-1\-4&0&2\end{pmatrix}\in\mathbb R^{2\times3}.$$

14-L3. $(A^T)^T=A=A^T$, also ist $A^T$ symmetrisch. $(\lambda A)^T=\lambda A^T=\lambda A$. $(A+B)^T=A^T+B^T=A+B$. Alle Matrizen sind quadratisch und haben passende Dimensionen.

14-L4. B und C sind symmetrisch. Bei A sind etwa $a_{12}=-1$ und $a_{21}=3$ verschieden. B ist an der Diagonale gespiegelt gleich; deshalb $C=2B$ ebenfalls. D hat Dimension $3\times4$ und ist nicht quadratisch.

14-L5. $AB$ ist definiert: $(2\times3)(3\times3)$ ergibt $2\times3$. $BB$ ist definiert und ergibt $3\times3$. $AA$ scheitert an $3\ne2$, $BA$ ebenfalls an den inneren Dimensionen $3\ne2$.

14-L6.

$$\begin{pmatrix}-1&0\2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&4\1&-3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-2&-4\5&5\end{pmatrix}.$$

Beispielsweise ist der Eintrag unten rechts $2\cdot4+1\cdot(-3)=5$. Das Ergebnis unterscheidet sich von $\begin{pmatrix}6&4\-7&-3\end{pmatrix}$ bei umgekehrter Reihenfolge: Nichtkommutativität.

14-L7. Wähle $A=\operatorname{diag}(1,0)$ und $B=\operatorname{diag}(0,1)$. Beide sind nicht 0, aber $AB=0$. Die Nullproduktregel aus $\mathbb R$ gilt daher nicht allgemein für Matrizen.

14-L8. $xy=\begin{pmatrix}-3&4\-6&8\end{pmatrix}\in\mathbb R^{2\times2}$ und $yx=(-3)\cdot1+4\cdot2=5\in\mathbb R^{1\times1}$. Ein Spaltenvektor mal Zeilenvektor ist hier eine Matrix; die umgekehrte Reihenfolge eine Zahl.

14-L9. Starte mit $[A\mid E_3]$. Nach $R_1\gets-R_1$, $R_2\gets R_2-5R_1$ und $R_3\gets R_3+2R_1$ steht:

$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&0&-1&0&0\0&3&-1&5&1&0\0&-2&1&-2&0&1\end{array}\right].$$

Führe $R_3\gets R_3+R_2$ aus und tausche anschließend $R_2,R_3$:

$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&0&-1&0&0\0&1&0&3&1&1\0&3&-1&5&1&0\end{array}\right].$$

Nun $R_1\gets R_1+R_2$, $R_3\gets R_3-3R_2$, $R_3\gets-R_3$. Das ergibt

$$\left[\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&2&1&1\0&1&0&3&1&1\0&0&1&4&2&3\end{array}\right],\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}2&1&1\3&1&1\4&2&3\end{pmatrix}.$$

Die Probe liefert $AA^{-1}=A^{-1}A=E_3$.

Vorlesung 15 - Komplexe Zahlen

Datum: 02.10.2026. Quelle: 2026_MVK-VL15-handout.pdf, 30 PDF-Seiten.

15.1 Erweiterung der reellen Zahlen

Die Gleichung $x^2=-1$ hat keine reelle Lösung. Die imaginäre Einheit (RU: мнимая единица; EN: imaginary unit) $i$ wird durch $i^2=-1$ eingeführt. Eine komplexe Zahl (RU: комплексное число; EN: complex number) lautet

$$z=a+ib,\qquad a,b\in\mathbb R.$$

$a=\operatorname{Re}z$ ist der Realteil (RU: действительная часть; EN: real part), $b=\operatorname{Im}z$ der Imaginärteil (RU: мнимая часть; EN: imaginary part). Beide sind reelle Zahlen; der Imaginärteil ist $b$, nicht $ib$.

Die komplexe Zahlenebene (RU: комплексная плоскость; EN: complex plane) identifiziert $a+ib$ mit $(a,b)^T$. Die horizontale Achse ist die reelle, die vertikale die imaginäre Achse. Die Einheiten sind $1=(1,0)^T$ und $i=(0,1)^T$. Reelle Zahlen werden als $a+i0$ aufgefasst.

15.2 Addition und Multiplikation

Addition erfolgt komponentenweise. Für $z=a+ib$ und $w=c+id$ gilt:

$$z+w=(a+c)+i(b+d),\qquad zw=(ac-bd)+i(ad+bc).$$

Die Multiplikation entsteht durch Ausmultiplizieren und Ersetzen von $i^2$ durch -1. In Vektorschreibweise bezeichnet die Quelle dieselbe Operation mit $\star$:

$$\begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}\star\begin{pmatrix}c\d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-bd\ad+bc\end{pmatrix}.$$

Dies ist eine andere Operation als das Skalarprodukt zweier reeller Vektoren. Komplexe Multiplikation ist kommutativ, assoziativ und distributiv. Die reellen Rechenregeln gelten, sofern $i^2=-1$ berücksichtigt wird.

Das Beispiel $(3+4i)(2-i)=10+5i$ zeigt das Verfahren. Multiplikation mit 1 lässt die Zahl unverändert. Multiplikation mit $i$ bildet $(a,b)$ auf $(-b,a)$ ab und entspricht einer Drehung um $\pi/2$ gegen den Uhrzeigersinn. Es gilt $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$.

15.3 Konjugation und Betrag

Die komplexe Konjugation (RU: комплексное сопряжение; EN: complex conjugation) spiegelt an der reellen Achse:

$$\overline z=a-ib.$$

Der Betrag (RU: модуль; EN: modulus) ist die Entfernung zum Ursprung: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Es gelten

$$\overline{\overline z}=z,\quad|\overline z|=|z|,\quad \overline{z+w}=\overline z+\overline w,\quad\overline{zw}=\overline z\,\overline w,$$ $$z\overline z=|z|^2,\qquad \operatorname{Re}z=\frac{z+\overline z}{2},\qquad \operatorname{Im}z=\frac{z-\overline z}{2i}.$$

Die Konjugation verändert den Betrag nicht und kehrt die Winkelrichtung um, wobei Argumente modulo $2\pi$ zu vergleichen sind.

15.4 Division

Für $w\ne0$ definiert man

$$\frac zw=\frac{z\overline w}{w\overline w}=\frac{z\overline w}{|w|^2}.$$

Man erweitert also mit der konjugierten Zahl des Nenners. Dadurch wird der Nenner reell und positiv. Konkret:

$$\frac{a+ib}{c+id}=\frac{(ac+bd)+i(bc-ad)}{c^2+d^2}.$$

Das Folienbeispiel ist $(2+3i)/(1-2i)=(-4+7i)/5$. Division durch 0 bleibt auch in $\mathbb C$ undefiniert. Weil $1/i=-i$, lässt sich Division durch $i$ als Multiplikation mit $-i$ ausführen.

15.5 Polarkoordinaten

Die Polarkoordinaten (RU: полярные координаты; EN: polar coordinates) einer Zahl $z\ne0$ sind $r=|z|>0$ und ihr Winkel $\varphi$. Dieser heißt Argument (RU: аргумент комплексного числа; EN: argument). Dann

$$z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi).$$

Der Winkel wird von der positiven reellen Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Er ist nur bis auf Vielfache von $2\pi$ eindeutig. Die Quelle wählt den Hauptwert (RU: главное значение; EN: principal value) $\varphi\in(-\pi,\pi]$. Für $z=0$ ist $r=0$; ein eindeutiges Argument existiert nicht.

Umrechnung:

$$a=r\cos\varphi,\quad b=r\sin\varphi,\quad r=\sqrt{a^2+b^2},$$ $$\varphi=\begin{cases}\arccos(a/r),&b\ge0,\-\arccos(a/r),&b<0,\end{cases}\quad(z\ne0).$$

Die Vorzeichen von $a,b$ bestimmen den Quadranten. Einfach nur $\arctan(b/a)$ zu verwenden kann den falschen Quadranten liefern und scheitert bei $a=0$.

Beispiele: $-1+i$ hat $r=\sqrt2$, $\varphi=3\pi/4$. Für $(r,\varphi)=(2,-\pi/4)$ ergibt sich $z=\sqrt2-i\sqrt2$.

15.6 Geometrie der Multiplikation und Division

Für $z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)$ und $w=s(\cos\theta+i\sin\theta)$:

$$zw=rs\bigl(\cos(\varphi+\theta)+i\sin(\varphi+\theta)\bigr),$$ $$\frac zw=\frac rs\bigl(\cos(\varphi-\theta)+i\sin(\varphi-\theta)\bigr)\quad(s>0).$$

Bei Multiplikation werden Beträge multipliziert und Winkel addiert; bei Division werden Beträge dividiert und Winkel subtrahiert. Ergebnisse außerhalb des Hauptwertintervalls werden durch Addition oder Subtraktion von $2\pi$ angepasst.

Die kartesische Darstellung (RU: алгебраическая / декартова форма; EN: Cartesian form) $a+ib$ ist günstig für Addition und Subtraktion; die Polardarstellung für Multiplikation und Division.

15.7 Aufgaben aus den Folien

15-A1 - Multiplikation, PDF-S. 6. Berechnen Sie $(-2,2)^T\star(5,1)^T$.

15-A2 - Quiz, PDF-S. 7. Ist komplexe Multiplikation kommutativ? Begründen Sie.

15-A3 - Einheiten, PDF-S. 9. Für $z=(2,1)^T$ berechnen und interpretieren Sie $1\star z$ und $i\star z$.

15-A4 - Imaginäre Einheit, PDF-S. 9. Berechnen Sie $i\star i$.

15-A5 - Allgemeine Multiplikation, PDF-S. 12. Schreiben Sie das Produkt von $z=a_1+b_1i$ und $w=a_2+b_2i$ in der Form $c_1+ic_2$.

15-A6 - Konjugation, PDF-S. 16. Für $z=3-2i$, $w=-5+3i$ bestimmen Sie $\overline z$, $\overline w$, $z\overline z$, $(z+\overline z)/2$ und $\overline{z+w}$.

15-A7 - Beweisübung, PDF-S. 17. Begründen Sie die Rechenregeln für Konjugation: doppelte Konjugation, gleicher Betrag, negiertes Argument, Konjugation von Summe und Produkt, $z\overline z=|z|^2$ sowie die Formeln für Real- und Imaginärteil.

15-A8 - Division, PDF-S. 19. Für $z=2+i$, $w=1+2i$ berechnen Sie $z/w$, $z/i$ und $(w-\overline w)/(2i)$.

15-A9 - Darstellungen, PDF-S. 25. a) Geben Sie die Polarkoordinaten von $z=-1-\sqrt3\,i$ an. b) Rechnen Sie $(r,\varphi)=(3,\pi/4)$ in kartesische Koordinaten um.

15-A10 - Produkt und Quotient in beiden Darstellungen, PDF-S. 27. Für $z=-1+\sqrt3\,i$, $w=1+i$ berechnen Sie $zw$, $z/w$ und die Polarkoordinaten von $z,w,zw,z/w$.

15.8 Lösungen

15-L1. Reelle Komponente $(-2)5-2\cdot1=-12$, imaginäre Komponente $(-2)1+2\cdot5=8$. Ergebnis $(-12,8)^T$, also $-12+8i$.

15-L2. Ja. Bei $z=a+ib$, $w=c+id$ ist $zw=(ac-bd)+i(ad+bc)$. Vertauschen liefert $(ca-db)+i(cb+da)$, denselben Real- und Imaginärteil nach den reellen Rechengesetzen.

15-L3. $1z=2+i$, unverändert; $iz=i(2+i)=-1+2i$, also der Vektor $(-1,2)^T$. Dieser ist die Drehung des Ausgangsvektors um 90° gegen den Uhrzeigersinn, bei unveränderter Länge $\sqrt5$.

15-L4. $(0,1)^T\star(0,1)^T=(-1,0)^T$, also $i^2=-1$.

15-L5. Ausmultiplizieren ergibt

$$zw=a_1a_2+a_1b_2i+b_1a_2i+b_1b_2i^2 =(a_1a_2-b_1b_2)+i(a_1b_2+a_2b_1).$$

Damit $c_1=a_1a_2-b_1b_2$, $c_2=a_1b_2+a_2b_1$. Die Schlusszeile auf PDF-S. 12 enthält einen Indexfehler; die Formel hier und auf PDF-S. 13 ist korrekt.

15-L6. $\overline z=3+2i$, $\overline w=-5-3i$. $z\overline z=(3-2i)(3+2i)=9+4=13$. $(z+\overline z)/2=6/2=3$. Da $z+w=-2+i$, ist $\overline{z+w}=-2-i=\overline z+\overline w$.

15-L7. Schreibe $z=a+ib$, $w=c+id$:

Zweimal das Vorzeichen von $b$ wechseln ergibt $z$.
$|\overline z|=\sqrt{a^2+(-b)^2}=|z|$.
In Polarform ist $\overline z=r(\cos\varphi-i\sin\varphi)=r(\cos(-\varphi)+i\sin(-\varphi))$. Also ist das Argument $-\varphi$ modulo $2\pi$. Bei einer negativen reellen Zahl wird der Wert $-\pi$ als Hauptwert wieder zu $\pi$ angepasst.
$\overline{z+w}=(a+c)-i(b+d)=\overline z+\overline w$.
$\overline{zw}=(ac-bd)-i(ad+bc)=(a-ib)(c-id)$.
$z\overline z=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2=|z|^2$.
$z+\overline z=2a$ und $z-\overline z=2ib$, woraus die beiden Komponentenformeln folgen.

15-L8.

$$\frac zw=\frac{(2+i)(1-2i)}{1^2+2^2}=\frac{4-3i}{5},\qquad \frac zi=(2+i)(-i)=1-2i,$$ $$\frac{w-\overline w}{2i}=\frac{(1+2i)-(1-2i)}{2i}=2=\operatorname{Im}w.$$

15-L9. a) $r=\sqrt{1+3}=2$. Die Zahl liegt im dritten Quadranten. Im Hauptwertintervall ist $\varphi=-\arccos(-1/2)=-2\pi/3$. b) $a=3\cos(\pi/4)=3\sqrt2/2$, $b=3\sin(\pi/4)=3\sqrt2/2$; also $w=(3\sqrt2/2)(1+i)$.

15-L10. In kartesischer Form:

$$zw=(-1+\sqrt3i)(1+i)=(-1-\sqrt3)+i(\sqrt3-1),$$ $$\frac zw=\frac{(-1+\sqrt3i)(1-i)}2 =\frac{\sqrt3-1}{2}+i\frac{\sqrt3+1}{2}.$$

Die Ausgangsbeträge sind $|z|=2$, $|w|=\sqrt2$; die Argumente $\varphi_z=2\pi/3=8\pi/12$, $\varphi_w=\pi/4=3\pi/12$. Daher:

Zahl	Betrag	Hauptargument
$z$	2	$2\pi/3$
$w$	$\sqrt2$	$\pi/4$
$zw$	$2\sqrt2$	$11\pi/12$
$z/w$	$\sqrt2$	$5\pi/12$

Beispielsweise ist $zw=2\sqrt2[\cos(11\pi/12)+i\sin(11\pi/12)]$. Die Ergebnisse bestätigen die Addition bzw. Subtraktion der Winkel.

Korrekturen und Grenzen der Quelle

Die mathematischen Inhalte wurden aus den Dateien des Archivs zusammengestellt. Die folgenden materiellen Fehler oder verkürzten Formulierungen wurden bei der Ausarbeitung berichtigt bzw. präzisiert:

Quelle	Stelle	Korrektur / Präzisierung
VL 4	PDF-S. 5, Fallmodell	Für den üblichen freien Fall aus Ruhe fehlt $1/2$ vor $gt^2$. Die Folienformel und das übliche Modell werden getrennt ausgewertet.
VL 6	PDF-S. 13, Beschränktheit	$1/(x+3)\le1/3$ für $x\ge0$, nicht überall strikt kleiner; bei 0 liegt Gleichheit vor.
VL 6	PDF-S. 17, Monotoniebeweis	Im positiven Fall muss $2x<2y=h(y)$ stehen.
VL 9 und 10	VL 9 PDF-S. 32, VL 10 PDF-S. 5	Im Kettenregelbeispiel ist die innere Funktion $2x^2-3x$, nicht $2x^3-3x$.
VL 9	PDF-S. 18, Weierstraß	Verwendet wird das endliche abgeschlossene Intervall $[a,b]$, also auch Beschränktheit des Intervalls.
VL 10	PDF-S. 6, Exponentialableitung	$a^x=e^{x\ln a}$ ist für $a>0$ und alle reellen $x$ definiert; die Ableitung ist $(\ln a)a^x$.
VL 10	PDF-S. 9	Der Wert $1/6$ ist $(f^{-1})'(9)$; im ersten Ausdruck fehlt auf der Folie das Ableitungszeichen.
VL 10	PDF-S. 18, L'Hospital	Differenzierbarkeit allein reicht nicht; Bedingungen an $g'$ und den Ableitungsquotienten wurden ergänzt.
VL 11	PDF-S. 22, Wendestelle	Für einen tatsächlichen Wendepunkt wird ein Krümmungswechsel geprüft; die bloße nichtstrikte Extremumdefinition für $f'$ wäre bei konstanten Abschnitten zu weit.
VL 11	PDF-S. 33, Stammfunktionen	Die Differenz zweier Stammfunktionen ist eine Konstante: $\widetilde F=F+C$, nicht $F+x$.
VL 12	PDF-S. 10, Nennernullstellen	Der zu zerlegende Nenner ist $x^2+2x-3$ mit Nullstellen -3 und 1; die Zwischenzeile mit $x^2-2x-3$ ist falsch.
VL 12	PDF-S. 14	$\int_0^1(3e^x-2x)\,dx=3e-4$, nicht $3e-5$.
VL 12	PDF-S. 20	Bei $x=h(u)$ gilt $dx/du=h'(u)$, nicht $h'(x)$.
VL 13	PDF-S. 6, Vektorraumaxiom	Der neutrale Skalar wird korrekt als 1 festgelegt: $1v=v$.
VL 13	PDF-S. 11, Vektoraddition	Zweite Komponente: $x_2+y_2$, nicht $x_2+x_2$.
VL 14	PDF-S. 3, Linearkombination	Summenindex $i=1,\ldots,k$ passend zu $x_1,\ldots,x_k$.
VL 14	PDF-S. 44, Gauß-Jordan	Die letzte Operation des $2\times2$-Beispiels ist $R_1\gets R_1-2R_2$, nicht Subtraktion von $2R_1$.
VL 15	PDF-S. 12, Multiplikation	Im Imaginärteil stehen $a_1b_2+a_2b_1$, nicht $a_1b_1+a_2b_2$.
VL 15	PDF-S. 17, Argument	$\arg\overline z=-\arg z$ modulo $2\pi$; die Hauptwertkonvention verlangt an der negativen reellen Achse eine Anpassung.
VL 15	PDF-S. 22, Quadrantenbild	Für den dritten Quadranten ist $-\pi<\varphi<-\pi/2$, für den vierten $-\pi/2<\varphi<0$. Die gedruckten umgekehrt geordneten Intervallgrenzen sind fehlerhaft.

Umfang: Alle 15 Vorlesungsdateien und das Zusatzblatt wurden berücksichtigt. Organisatorische Ankündigungen, Zugangscodes und wiederholte Moodle-Empfehlungen wurden nicht als Lernstoff übernommen. Themen wie uneigentliche Integrale, eine vollständige Konstruktion des Regelintegrals oder eine ausgearbeitete Determinantenlehre werden im Überblick bzw. in Lernzielen angekündigt, aber in den gelieferten Dateien nicht ausgeführt. Dafür enthält dieser Konspekt keine erfundenen „Originalaufgaben“. Erläuternde Ergänzungen sind im Text als solche erkennbar.

Aufgabenübersicht zur Vollständigkeitskontrolle

Vorlesung	Enthaltene Aufgabenblöcke
1	1-A1 bis 1-A7: Mengen, Komplement, Potenzmenge, Operationen, Aussagen, Negation, Logik
2	2-A1 bis 2-A5: Diagramme, Tautologie, Logik, Indexverschiebung, Symbole
3	3-A1 bis 3-A7: die sieben Aussagen der Motivationsfolie „Wahr oder falsch und warum?“
4	4-A1 bis 4-A4: Fallmodell, Graphenquiz, Bildmenge, Sinus
5	5-A1 bis 5-A4: Kompositionsquiz, Beweisübung und zwei Arbeitsfragen
6	6-A1 bis 6-A6: Symmetrie, Schranken, Funktionseigenschaften, Folgen, Beweis, Monotonie
7	7-A1 bis 7-A7 sowie Z-A1 bis Z-A5: Folienaufgaben, Beweisübungen und vollständiges Zusatzblatt
8	8-A1 bis 8-A4: Grenzwertquiz und drei rationale Funktionen
9	9-A1 bis 9-A6: Stetigkeit, Anschluss und Ableitungen
10	10-A1 bis 10-A5: Tangens, inverse Ableitung, Monotoniebeweis, L'Hospital, höhere Ableitungen
11	11-A1: Stammfunktion von $\cos(3x)$
12	12-A1: Herleitung des Integrals von $\cos^2x$
13	13-A1 bis 13-A3: Vektorraumbeweis, Rechnen, Normbeweise
14	14-A1 bis 14-A9: Einheitsvektoren, Transposition, Symmetrie, Produkte und Inverse
15	15-A1 bis 15-A10: komplexe Operationen, Konjugationsbeweise und Polardarstellung

Glossar: häufige Fach- und Arbeitswörter

Deutsch	Русский	English
Voraussetzung	предпосылка, условие	assumption
Behauptung	утверждение	claim
begründen / nachweisen	обосновать / доказать	justify / establish
widerlegen	опровергнуть	disprove
Gegenbeispiel	контрпример	counterexample
notwendig / hinreichend	необходимый / достаточный	necessary / sufficient
genau dann, wenn	тогда и только тогда, когда	if and only if
beliebig, aber fest	произвольный, но фиксированный	arbitrary but fixed
eindeutig	единственный, однозначный	unique / unambiguous
wohldefiniert	корректно определённый	well-defined
bezüglich, bzgl.	относительно	with respect to
insbesondere	в частности	in particular
im Allgemeinen, i. A.	в общем случае	in general
falls / sofern	если / при условии	if / provided that
einander zuordnen	сопоставить	match / assign
einsetzen	подставить	substitute a value
umformen	преобразовать выражение	rearrange
ausmultiplizieren	раскрыть скобки	expand
ausklammern	вынести общий множитель	factor out
kürzen	сократить дробь	cancel common factors
Nenner / Zähler	знаменатель / числитель	denominator / numerator
Hauptnenner	общий знаменатель	common denominator
Folgeglied	член последовательности	sequence term
Bildungsgesetz	закон образования	defining rule
Schranke	граница	bound
beschränkt / unbeschränkt	ограниченный / неограниченный	bounded / unbounded
monoton wachsend / fallend	неубывающий / невозрастающий	nondecreasing / nonincreasing
streng monoton	строго монотонный	strictly monotonic
konvergent / divergent	сходящийся / расходящийся	convergent / divergent
Häufungspunkt	предельная точка множества	accumulation point
Umgebung	окрестность	neighborhood
stetig / unstetig	непрерывный / разрывный	continuous / discontinuous
hebbare Lücke	устранимый разрыв	removable gap / discontinuity
differenzierbar	дифференцируемый	differentiable
Änderungsrate	скорость изменения	rate of change
waagerecht / senkrecht	горизонтальный / вертикальный	horizontal / vertical
Randpunkt / innerer Punkt	граничная / внутренняя точка	boundary / interior point
Vorzeichenwechsel	смена знака	sign change
Krümmung	кривизна, характер выпуклости	curvature / concavity
Stammfunktion	первообразная	antiderivative
Integrand	подынтегральная функция	integrand
Integrationsgrenze	предел интегрирования	integration bound
komponentenweise	покомпонентно	componentwise
aufspannen	порождать, натягивать	span
linear abhängig / unabhängig	линейно зависимый / независимый	linearly dependent / independent
orthogonal	ортогональный	orthogonal
normieren	нормировать	normalize
invertierbar / regulär	обратимый / невырожденный	invertible / nonsingular
transponieren	транспонировать	transpose
konjugiert	сопряжённый	conjugate
Betrag einer komplexen Zahl	модуль комплексного числа	modulus
Hauptwert des Arguments	главное значение аргумента	principal argument

Lernhinweis: Lesen Sie zunächst den Lernstoff einer Vorlesung, bearbeiten Sie anschließend ihre Aufgaben ohne den Lösungsabschnitt und vergleichen Sie erst danach die Rechenschritte. Bei Fehlern prüfen Sie besonders Definitionsbereiche, Randpunkte, Quantoren und Vorzeichen.

Weitere Arbeitswörter: nachweisen (RU: доказать; EN: establish / prove), begründen (RU: обосновать; EN: justify), umformen (RU: преобразовать; EN: rearrange), einsetzen (RU: подставить; EN: substitute), ausmultiplizieren (RU: раскрыть скобки; EN: expand), kürzen (RU: сократить дробь; EN: cancel common factors) und Vorzeichen (RU: знак числа; EN: sign). Diese Verben beschreiben die Schritte, die in Aufgaben und Lösungen erwartet werden.